Экстремумы функции

Определение: Точка называется точкой локального максимума (локального минимума), если существует такая окрестность этой точки, что

,

(соответственно, , ).

Определение: Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Теорема 9 (необходимое условие экстремума). Если – точка локального экстремума для функции , то в этой точке производная функции либо равна нулю , либо не существует.

Определение: Точки области определения непрерывной функции , в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции.

Теорема 10 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция непрерывна в точке и дифференцируема в некоторой ее окрестности (кроме, может быть, самой точки ). Тогда, если меняет знак при переходе через точку , то – точка локального экстремума. Если функция меняет знак с «+» на «–», то точка – локальный максимум, если же с «–» на «+», то точка – локальный минимум.

Теорема 11 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в точке производные первого и второго порядков. Тогда, если , , то точка – точка локального экстремума. Если , , то точка – точка локального максимума, а если , , то точка – точка локального минимума.

Дата добавления: 2015-07-20