Теорема Лопиталя

Если функции и обладают следующим набором условий:

или ;

;

в некоторой окрестности точки ,

тогда существует . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида ).

Поскольку мы рассматриваем функции и только в правой проколотой полуокрестности точки , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть . Возьмём некоторый из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:

,

но , поэтому .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через , из полученного равенства выводим:

для конечного предела и

для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

2. Докажем теорему для неопределённостей вида .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен . Тогда, при стремлении к справа, это отношение можно записать как , где — O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем из отрезка и применим теорему Коши ко всем из отрезка :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для , достаточно близких к , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как и — константы, а и стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен , где — бесконечно малая функция при стремлении к справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для :

.

Получили, что отношение функций представимо в виде , и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен .

Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при , достаточно близких к , а тогда .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

36. Раскрытие неопределённости вида 0*∞, ∞-∞, 1^∞

Дата добавления: 2015-07-20