Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема Штейнера

Читайте также:
  1. Билет 28. Магнитное поле в веществе. Магнитные моменты атомов и молекул (орбитальный, спиновый и прецессионный). Типы магнетиков. Теорема Лармора
  2. Внешние эффекты. Положит. и отрицат. внешн. эффекты и проблема эффективного размещения ресурсов в рын. экономике. Теорема Коуза
  3. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Опыт Эрстеда. Магнитный поток. Теорема Остроградского-Гаусса. Магнитный момент контура с током. Графическое изображение магнитных полей.
  4. Поток вектора. Поток вектора напряженности и Эл. Смещения. Расчет потока вектора E и D поля точечного заряда. Теорема Остроградского-Гаусса
  5. Счетные множества. Теорема о существовании подмножества в бесконечном множестве
  6. Теорема 1
  7. Теорема 1 (о нетривиальных решениях однородной системы)

Теорема Штейнера. Рассмотрим на проективной плоскости два пучка П(О1) и П(О2), причем О1О2. Если существует проективное, но не перспективное отображение f: П(О1) → П(О2), тогда множество точек пересечения соответствующих друг другу прямых пучков образует овальную квадрику проходящую через точки О1 и О2. При этом касательная к квадрике в точке О1 является прообразом прямой (О1О2), а касательная в точке О2 является образом прямой (О1О2).

Доказательство. Пусть f - проективное, но не перспективное отображение пучка в пучок f: П(О1) → П(О2).

Обозначим: (О1О2)= т, т.к. f - не перспектива, то f (т) ≠ т и f -1 (т) ≠ т.

Пусть: f (т)= т′ и f -1 (т)= п, т.о. прямые т, т′, п - попарно различны.

f: пт и f: тт′ - две пары прямых есть, для задания отображения нужны три пары прямых. Возьмем П(О1) (т и п), пусть: f ()= ℓ′ О1 = п ∩ т, О2= т ∩ т′,

Пусть п ∩ т′= О3, ℓ ∩ ℓ′=Е.

Все прямые попарно различны, значит точки не лежат на одной прямой. В этом случае точки могут образовывать репер на проективной плоскости: R (О1 , О2, О3 , Е)

Пусть Х произвольная точка на плоскости и ее координаты в этом репере.

Обозначим: (О1 Х) = р, (О2 Х) = q,

Е1= ℓ ∩ т′, Е2= п ∩ ℓ′, Х1= р ∩ т′, Х2= п ∩ q.

По определению сложного отношения прямых пучка:

для пучка П(О1) → (тп, ℓр)=(О2О3, Е1Х1),

для П(О2) → (т′т, ℓ′q)=(О3О1, Е2Х2).

Т.к. Е1 и Х1 – проекции точек Е и Х на (О2О3), тогда по теореме о проекциях: Х1 и в репере R (О2, О3 , Е1) → Х1 (О2О3, Е1Х1) = .

Так как Е2 и Х2 – проекции Е и Х на (О1О3), тогда по теореме о проекциях:

Х2 и в репере R (О1, О3 , Е1) → Х2 (О1О3, Е2Х2) = .

Тогда (тп, ℓр)=(О2О3, Е1Х1)= , (т′т, ℓ′q)=(О3О1, Е2Х2)= .

Если точка Х является точкой пересечения соответствующих прямых пучков, то есть f (р) = q, тогда в силу проективности отображения f: (тп, ℓр)=(т′т, ℓ′q) =

х3 ² - х1 х2 = 0 – уравнение овальной квадрики, а значит точка Х принадлежит некоторой квадрике.

Если точка Х не является точкой пересечения соответствующих прямых пучков (f (р)≠ q), тогда

(тп, ℓр)≠(т′т, ℓ′q) х3 ² - х1 х2 ≠ 0, а значит, точка Х КВП.

Если точка Х инцидентна прямым (О1О2), (О1О3) или (О2О3), то для принадлежности квадрике она должна совпадать или с О1 или с О2.

Найдем касательную к квадрике в точке О1.

Матрица квадрики Q = . Касательная: О1 Т QХ =0.

=0 =0 х2 = 0 – это уравнение координатной прямой (О1О3)= п.

Аналогично находится касательная в точке О2 : х1 = 0 – это уравнение (О2О3)= т′.

Т.о. при таком проективном отображении прообраз прямой (О1О2) является касательная в точке О1 образом прямой (О1О2) является касательная в точке О2. □

Обратная теорема. Пусть даны овальная квадрика и точки О1, О2 принадлежащие ей. Тогда для любой точки А КВП отображение f: П(О1) → П(О2), такое, что f: (АО1) → (АО2) - является проективным, но не перспективным отображением. Причем касательная к квадрике в точке О1 является прообразом прямой (О1О2), а касательная в точке О2 является образом прямой (О1О2).

Замечание: Если отображение f – перспектива, то все точки пересечения соответствующих прямых (образов и прообразов) лежат на одной прямой – оси перспективы. Прямая соединяющая центры пучков отображается сама в себя. Таким образом, квадрика является вырожденной - парой совпавших прямых (ось перспективы и прямая (О1О2)).

Вывод: Если дано проективное отображение f: П(О1) → П(О2), тогда множество точек пересечения соответствующих прямых пучков является КВП.

Если f: П(О1) → П(О2), - не перспективное отображение, то КВП овальная.

Если f: П(О1) → П(О2), - перспективное отображение, то КВП вырожденная.


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 109 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Сложное отношение | Гармонизм | Гармонические свойства полного четырехвершинника | Построение четвертой гармонической точки с использованием свойств полного 4-вершинника | Задачи на построение. | Квадрики на проективной плоскости | Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости. | Взаимное расположение прямой и квадрики | Уравнение касательной | Полюс и поляра |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Задачи на построение| Теорема Паскаля и ее предельные случаи

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)