Коэффициент корреляции Бравэ—Пирсона

Рассмотрим прямолинейную корреляцию, отражаемую коэф­фициентом корреляции. Для отражения прямолинейной корреля­ционной связи двух признаков х, и у,, выраженных в абсолютных единицах, используют парный коэффициент корреляции Бравэ — Пирсона, определяемый по следующей формуле:

Vi -У)

Рис. 2.14, Отрицательная корре­ляция

(2.20)

где г_ху — коэффициент корреляции между признаками хну; x_h у, — значения наблюдаемых величин х и у; х и у — средние арифметические значения признаков х и у; п — объем совокупности. Свойство коэффициента корреляции в том, что он не превы­шает единицы. Таким образом, -1<г_ху<1.

93 Если принять во внимание абсолютное значение г_ху, т.е. без учета знака, его возможные значения могут быть заключены в интервале 0 < | r^l < 1.

Этот интервал позволяет исследователю ориентироваться по тесноте взаимосвязи: чем ближе расчетный коэффициент к еди­нице, тем теснее коррелируют признаки; чем ближе к нулю, тем меньше взаимосвязь.

В практике ФКС условно приняты следующие интервалы:

О < | Гц,) < 0,3 — связь слабая;

0,3 < | гф\ < 0,7 — связь средняя;

0,7 < | Гху\ < 1,0 — связь тесная.

Кроме того, при расчете взаимосвязи и оценки показателей спортсменов высокой квалификации тренировочных воздействий тесная корреляция может быть равной 0,85 и выше. По знаку ко­эффициента корреляции определяется, какова корреляция — по­ложительная или отрицательная.

В формуле (2.20) присутствуют значения наблюдаемых вели­чин х,- и у!. Их индекс указывает на то, что они представляют со­бой варьирующий признак. Следовательно, для практических рас­четов все исходные данные должны быть представлены таблично, а последовательность выполнения действий, отраженных форму­лой (2.20), выражена в графах таблицы. Рассмотрим конкретный пример.

Пример 2.31. Оцените по данным, приведенным в табл. 2.59, взаимосвязь силы удара при броске мяча в гандболе х,- (Н) и даль­ностью полета мяча у, (м).

Таблица 2.59 Взаимосвязь силы удара и дальности полета мяча

8,55 _ 8,55 •Д 88-21,12 9,05

-0,94.

№ п/п	X,	У,	х,--х	у! -У	(х, - х)(у, - у)	(х,-*)^2	(У, -У)^2
	10,12	25,2	-0,92	-2,5	2,30	0,85	6,25
	10,30	26,4	-0,74	-1,3	0,96	0,55	1,69
	10,65	27,2	-0,39	-0,5	0,19	0,15	0,25
	11,00	27,9	-0,04	0,2	0,00	0,00	0,04
	11,90	28,5	0,86	0,8	0,69	0,74	0,64
	12,30	31,2	1,26	3,5	4,41	1,59	12,25
Всего	66,27	166,4	—	—	8,55	3,88	21,12

Обратим внимание на знак полученного коэффициента. Зна­менатель формулы дает всегда положительное число, а числитель зависит от знака произведения (х, - х) (у, - у). В данном случае этот знак положительный (+8,55), поэтому знак коэффициента корре­ляции тоже положительный.

Итак, в примере 2.31 коэффициент корреляции /^ = 0,94.

Статистические выводы: 1) в связи с тем, что г^ = 0,94 > О, корреляция между признаками х и у имеет место; 2) так как зна­чение Гху = 0,94 близко к верхнему пределу интервала 0 < | г^\ < 1, то связь является очень тесной; 3) поскольку знак коэффициента положительный, корреляция является прямой: с увеличением первого признака х второй признак у также увеличивается.

Педагогический вывод. Дальность полета мяча у испытуемых су­щественно зависит от силы броска.

Приведенный выше коэффициент корреляции и соответству­ющий ему расчет имеют отношение к признакам х и у. Они пред­ставляют собой два простых упорядоченных ряда, варианты кото­рых встречаются по одному разу, и потому отсутствуют частоты.

Этот коэффициент получил повсеместное распространение в спортивных исследованиях, в частности в практике ФКС он при­меняется во всех корреляционных расчетах.

Между тем существует также формула для вычисления коэф­фициента корреляции между двумя признаками, каждый из ко­торых представлен дискретным вариационным радом, т. е. имеют место варианты и соответствующие им частоты. Для определения коэффициента корреляции в усложненном варианте использует­ся следующая формула:

'ху ~ >

х у

гдеху — средняя арифметическая произведений х,}>,; а_ха_у — сред­ние квадратические отклонения признаков х и у.

Напомним, что в практике ФКС коэффициент корреляции обычно определяется по формуле (2.22).

2.3.5. Ранговый¹ коэффициент корреляции Спирмэна

Ранговый коэффициент показывает, что теснота связи опреде­ляется не между самими признаками, а между их порядковыми

_ 66,27,, _п/1 тт - 166,4.

х = —;;— = 11,04Н; у = —-г—-27,7м;

¹ Ранговый (от англ, rank) — выстраиваться в ряд, линию, стоять по по­рядку (Англо-русский словарь. — М., 1991).

95 показателями. Таким образом, оценивается связь одной иерархии < признаков с другой.

Для выявления тесноты связи используют коэффициент ранго­вой корреляции (коэффициент Спирмена)

(2.22)

л(п - 1)(л +1)'

где р — ранговый коэффициент корреляции; x_f, y_z — порядковые места (ранги) исследуемых признаков; п — количество пар при­знаков, между которыми устанавливается связь.

Ранговый коэффициент имеет те же свойства, что и коэффи­циент Пирсона, и поэтому статистические выводы соответствуют статистическим выводам коэффициента Пирсона.

Пример 2.33. При выполнении программ одиночного ката­ния места среди фигуристов распределились по порядку в обяза­тельных х_г и произвольных y_z упражнениях.

Существует ли связь между распределением мест в произволь­ных и обязательных упражнениях?

Исходные данные и основные расчеты приведены в табл. 2.60.

и = 7; л + 1 = 7 + 1 = 8; л - 1 = 7 - 1 = 6;

-'-TITS = °'⁸⁶'

Полученный коэффициент ранговой корреляции р = 0,86 сви­детельствует о тесной взаимосвязи.

Статистический вывод. По­скольку р = 0,86, то связь между признаками есть, она — тесная, положительная.

Педагогический вывод. У на­блюдаемых спортсменов отмеча­ется тесная связь между выпол­няемыми произвольными и обя­зательными упражнениями.

Расположение исходных дан­ных по рангу можно осуществить и тогда, когда они выражены в абсолютных числах. В этом слу­чае, оценивая величины их по­казателей, назначают им ранги.

Отметим также, что формула рангового коэффициента корре­ляции (2.22) может быть преоб­разована в следующую формулу

Таблица 2.60

---

Дата добавления: 2015-07-15