Анализ чувствительности к изменению коэффициентов ЦФ

Проанализируем чувствительность оптимального решения задачи 4.1 к изменению коэффициентов целевой функции z(x) = 3x₁+ 2x₂.

ОДР задачи моделируется многоугольником ABCDEF (рис. 4.4)

Соотношение коэффициентов c₁ и c₂ задает направление градиента целевой функции z(x). На рис.4.4 представлен градиент соответствующий коэффициентам c₁=3 и c₂=2.

Рис.4.4. Изменение оптимальной вершины при изменении направления градиента ЦФ z(x)

При изменении цен, задающих коэффициенты c₁ и c₂, целевая функция будет изменяться, однако при незначительном изменении оптимальное решение задачи останется прежним, хотя значение целевой функции, соответствующее оптимальному решению станет другим. Например, при снижении цены тонны краски 1-го вида с 3т.р. до 2 т.р., оптимальное решение задачи о красках при неизменных ограничениях останется прежним, то есть соответствующим вершине Е многоугольника ОДР. Программа выпуска останется соответствующей точке Е = то есть тонны краски 1-го вида и тонны краски 2-го вида, но при этом выручка сократится до т.р. Но при снижении этой цены до т.р. (c₁= ) оптимальными станут все точки отрезка ED, так как при этом градиент целевой функции, получившей вид z(x) = x₁+ 2x₂, станет перпендикулярным прямой линии ограничения (1). Следовательно, линия уровня станет параллельной прямой (1), что и определит оптимальность всех точек отрезка ED. При дальнейшем снижении первой цены, например, до 1 т.р. (c₁=1), оптимальной станет точка D=(2,2), что соответствует значению ЦФ равному т.р. Аналогично, изменяя соотношение коэффициентов ЦФ (один из них можно зафиксировать, так как конкретные значения коэффициентов влияют только на значение ЦФ, а направление градиента задается отношением c₁/c₂). Таким образом, можно геометрически определить направления градиента, при которых будет изменяться решение задачи (4.1). Круг, задающий «розу ветров» задачи о красках, изображен на рисунке 4.4. При направлении градиента ЦФ по направлениям, разделяющим круг на секторы, задача получает бесконечные множества оптимальных решений, а при нахождении градиента в каждом секторе «розы ветров» задача будет иметь оптимальное решение в вершине, указанной в данном секторе. Например, при c₁ = -1 и c₂= 2 оптимальной будет вершина С.

Заметим, что по смыслу задачи о красках коэффициенты, моделирующие цены не могут получать отрицательные значения. Однако в других задачах такого ограничения может не быть. Поэтому в данном примере рассмотрены все варианты соотношения коэффициентов, определяющего направление вектора градиента ЦФ. Варианты оптимальных решений в зависимости от знаков коэффициентов с₁ и с₂ и их отношения представлены в таблице 4.3.

Таблица 4.3 – Результаты анализа чувствительности к изменению коэффициентов ЦФ задачи о красках.

Коэффициент c1	Коэффициент с2	Интервал значений c1 / с2	Оптимальное решение
c1>0	c2>0	(2, ∞)	F
{2}	Все точки отрезка EF
(2/3, 2)	E
{2/3}	Все точки отрезка DE
(0, 2/3)	D
c1£0	c2>0	{0}	Все точки отрезка CD
(-1, 0)	C
{-1}	Все точки отрезка BC
(-∞, -1)	B
c1<0	c2=0		Все точки отрезка AB
c1<0	c2<0		A
c1≥0	c2<0	{0}	Все точки отрезка AF
c1>0	c2=0		F

Дата добавления: 2015-07-15