Затухающие колебания. В реальных колебательных процессах присутствуют силы сопротивления

В реальных колебательных процессах присутствуют силы сопротивления, а значит, существуют энергетические потери. Сила сопротивления при малых скоростях пропорциональна скорости: .

Для пружинного маятника

или .

Обычно дифференциальное уравнение затухающих колебаний записывают в виде

(8) .

Параметр d является коэффициентом затухания. Параметр w₀ в гармоническом колебании играл роль циклической частоты. Однако мы можем ожидать, что у затухающих колебаний частота имеет другое значение. Строго говоря, затухающие колебания не являются периодическими: , поскольку убывает амплитуда.

Будем искать решение в виде

.

Выразим скорость и ускорение:

, .

После подстановки этих выражений в (5) и преобразований получим

.

Решением этого уравнения будет синусоида , где циклическая частота . А закон затухающих колебаний принимает вид

(9) .

Отношение

показывает, во сколько раз амплитуда колебаний уменьшается за 1 период. Оно называется декрементом затухания. Величина — логарифмический декремент затухания. Промежуток времени t=1/d, за который амплитуда уменьшается в e раз, называется временем релаксации.

Дата добавления: 2015-07-18