Вынужденные колебания

4.1 Уравнение вынужденных колебаний

Как мы выяснили, свободные колебания реальной ко-лебательной системы являются затухающими. Затухания определяются потерями энергии колебаний, обусловлен-ными работой сил сопротивления. Чтобы в такой системе получить незатухающие колебания, необходимо компен-сировать потери энергии колебаний. Это можно осущес-твить, воздействуя на систему переменной внешней си-лой . Такая сила называется вынуждающей, а колебания – вынужденными. Рассмотрим простейший и самый важный случай вынужденных колебаний – когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону. Будем расс-матривать проекцию вынуждающей силы на направление колебаний, изменяющуюся по гармоническому закону:

. (4.1)

На колеблющееся тело при вынужденных колебаниях одновременно действуют три силы: внутренняя консерва-тивная квазиупругая (), обеспечивающая колебания в отсутствии внешних сил; внутренняя диссипативная сила сопротивления (), обусловливающая потери энергии колебаний, и внешняя вынуждающая (), восполняющая эти потери.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на направ-ление колебаний:

. (4.2)

Поделив уравнение на массу :

, (4.3)

и введя обозначения:

, (4.4)

, (4.5)

, (4.6)

получим дифференциальное уравнение вынужденных ко-лебаний:

. (4.7)

Дифференциальное уравнение (4.7) является неодно-родным, т.к. правая часть не равна нулю. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего ре-шения сответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного:

. (4.8)

Общее решение однородного уравнение представляет собой уравнение колебаний системы в отсутствии вынуж-дающей силы, то есть уравнение затухающих колебаний:

, (4.9)

где частота колебаний

. (4.10)

Частное решение неоднородного уравнения представ-ляет собой гармонические колебания, происходящие с частотой вынуждающей силы:

, (4.11)

где – угол запаздывания фазы колебаний системы от фазы колебаний вынуждающей силы. Итак, общее реше-ние уравнения (4.7) с учетом вышесказанного можно за-писать в следующем виде:

. (4.12)

Таким образом, вынужденные колебания складываются из двух составляющих – затухающей и гармонической . С увеличением времени затухающая часть будет стремиться к нулю: , и спустя время релаксации после начала колебаний (за которое считается полностью затухшей) в системе устанавливаются гармонические колебания. В графическом виде начало колебательного процесса под действием вынуждающей силы выглядит так, как показано на рис. 4.1.

4.2 Фазовый анализ вынужденных колебаний

Найдем угол запаздывания фазы колебаний системы от фазы колебаний вынуждающей силы. Для этого рассмот-рим установившиеся колебания, когда затухающую сос-тавляющую (4.9) можно не учитывать (скажем, по про-шествии промежутка времени от начала колебаний, рав-ного времени релаксации ). То есть будем рассматри-вать только частное решение уравнения (4.7):

. (4.13)

Подставим частное решение (4.13) в уравнение (4.7):

(4.14)

.

Используя тригонометрические выражения:

, (4.15)

, (4.16)

раскроем sin и cos разности двух углов:

(4.17)

.

Разделим уравнение (4.17) на и перегруппируем слагаемые:

. (4.18)

Для того, чтобы равенство выполнялось для всех моментов времени, выражение в скобках должно равняться нулю. Получаем систему уравнений:

,

(4.19)

.

Разделим систему на :

,

(4.20)

.

Из второго уравнения системы (4.20) получаем:

,

. (4.21)

Таким образом, угол запаздывания колебаний системы определяется не только параметрами самой системы (, ), но и частотой вынуждающей силы .

Найдем выражение для амплитуды вынужденных коле-баний. Умножим первое уравнение системы (4.20) на и сложим со вторым уравнением. После сокращений по-лучим:

. (4.22)

Учитывая, что

, (4.23)

получаем:

. (4.24)

Перенесем вправо и выполним сокращения:

. (4.25)

Возводя в квадрат и подставляя выражение (4.21), по-лучим:

,

. (4.26)

Отсюда, после сокращений,

. (4.27)

Окончательно, получаем выражение для амплитуды вы-нужденных колебаний:

. (4.28)

Итак, амплитуда A так же как и угол отставания , зависит не только от параметров колебательной системы, но и от частоты вынуждающей силы. Кроме того, ампли-туда колебаний прямо пропорциональна амплитуде вы-нуждающей силы .

Из вышесказанного видны следующие свойства вынужденных колебаний:

1. Вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы w.

2. Фаза смещения отстает от фазы вынуждающей силы на угол j.

3. Амплитуда A вынужденных колебаний и отставание смещения по фазе j зависят от частоты колебаний w.

Кроме того видно, что амплитуда A вынужденных колебаний и отставание смещения по фазе j от вынуждающей силы определяется свойствами самого осциллятора (w ₀, b) и свойствами вынуждающей силы (, w), но не начальными условиями. Амплитуда колебаний всегда пропорциональна амплитуде вынуждающей силы.

Расмотрим частные случаи зависимости амплитуды и сдвига фаз зависят от частоты колебаний w.

Случай 1. Частота вынуждающей силы меньше собственной частоты системы: .

Когда частота вынуждающей силы стремится к нулю (), то амплитуда . При этом фаза смещения , а смещение прямо пропорционально действующей силе: . Случай реализуется в приборах, измеряющих вынуждающую силу (весы, динамометр)

Случай 2. Частота вынуждающей силы больше собственной частоты системы .

Когда частота вынуждающей силы стремится к бесконечности (), то амплитуда . При этом фаза смещения . Этот случай реализуется при необходимости уменьшить амплитуду вынужденных колебаний.

Случай 3. Частота вынуждающей силы близка к собственной частоте системы: . При этом фаза смещения . Амплитуда , и, при коэффициенте затухания амплитуда , возникает явление резонанса.

4.3 Явление резонанса

Рассмотрим подробней случай, когда частота вынуждающей силы близка к собственной частоте системы: . Поскольку числитель выражения (4.28) постоянен, то амплитуда зависит от знаменателя выражения. Видно, что амплитуда возрастает по мере приближения частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы .

Явление увеличения амплитуды колебаний при стрем-лении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний называется резонансом.

Найдем частоту, при которой амплитуда максимальна, т.е. резонансную частоту. Исследуем поведения знамена-теля выражения (4.28). Для этого введем функцию , равную знаменателю:

. (4.29)

Для нахождения экстремумов функции приравня-ем нулю ее производную по частоте:

,

. (4.30)

Отсюда получаем уравнение резонансной частоты:

. (4.31)

Амплитуду при резонансе можно расчитать, подставив (4.31) в (4.28):

,

,

окончательно, резонансная амплитуда равна:

. (4.32)

При малых затуханиях , когда резонансная частота очень близка к собственной (), можно воспользо-ваться приближенным выражением:

. (4.33)

Поскольку амплитудное значение смещения (по закону Гука):

, (4.34)

то резонансная амплитуда может быть выражена через амплитудное отклонение следующим образом:

. (4.35)

Разделим последнее выражение на смещение , воз-никающее под действием амплитудного значения вынуж-дающей силы:

(4.36)

Полученное выражение описывает добротность коле-бательной системы. Итак, добротность – есть отноше-ние амплитуды резонанса к смещению , которое воз-никает под действием амплитудного значения вынужда-ющей силы.

Графики зависимости амплитуды вынужденных коле-баний от частоты и коэффициента затухания называются резонансными кривыми. На рис. 4.1 представлены три ре-зонансные кривые для систем с различными коэффициен-тами затухания. Первая кривая соответствует самому малень-кому затуханию. Видно, что чем меньше затухание систе-мы, тем ярче выражен резонанс, тем ближе резонансная частота к собственной частоте системы.

Дата добавления: 2015-07-16