Автоколебания

Колебания пружинного маятника затухают из-за трения. Но если систематически компенсировать потери энергии, то колебания перестанут затухать. В качестве примера рассмотрим механизм возникновения незатухающих колебаний в установке, изображенной на рис. 45. Это – схема популярной настольной игрушки-сувенира «Mobile». Прикрепленная к грузу гибкая пластинка периодически прикасается к контакту, замыкая тем самым цепь электромагнита на некоторое время. В течение этого времени электромагнит притягивает груз, увеличивая его кинетическую энергию. Таким образом, в течение каждого периода потери энергии под действием силы трения компенсируются за счет работы силы притяжения, действующей на груз со стороны электромагнита, а работой электромагнита управляет само колеблющееся тело с помощью контакта-прерывателя. Рассмотренная установка является типичным представителем весьма распространенного класса колебательных систем, совершающих незатухающие колебания за счет действия источника энергии, не обладающего колебательными свойствами.

Таким образом, при определенных условиях мы наблюдаем постоянные периодические колебания в такой системе, которая не подвержена периодическому внешнему воздействию. В общем случае системы, в которых возникают периодические колебания в отсутствии заданного периодического внешнего воздействия, называются автоколебательными, а сам процесс - автоколебаниями.

Любая автоколебательная система состоит из следующих четырех частей (рис. 46):

а) колебательная система (в установке рис. 45 это груз с пружиной);

б) источник энергии, за счет которого компенсируются потери (в нашем примере это источник тока);

в) клапан (триггер) – некоторый орган, регулирующий поступление энергии в колебательную систему определенными порциями в нужный момент (у нас это контакт-прерыватель).

г) обратная связь – чрезвычайно характерное для всех автоколебательных систем обратное воздействие колебательной системы на клапан, иными словами – управление работой клапана за счет процессов в самой колебательной системе. В нашей установке обратная связь осуществляется с помощью электромагнита, который притягивает груз и тем самым размыкает контакт.

Автоколебания широко распространены в природе и технике. Автоколебательными системами являются электрические звонки, зуммеры, паровые машины и двигатели внутреннего сгорания, отбойные молотки и т. п. Автоколебания совершают струны под действием смычка (скрипка, виолончель), язычки в гармониях (баянах, аккордионах), голосовые связки при разговоре и пении, провода при постоянно дующем ветре.

Заметим, что механизм обратной связи во многих автоколебательный системах замаскирован, и разбить систему на основные узлы иногда довольно трудно.

Рис. 45. Схема электрических соединений в игрушке «Mobile»

Рис.46. Основные элементы автоколебательной системы

Свободными колебаниями мы выше назвали колебания при отсутствии вынуждающей силы, а именно, члена f(t) в уравнении (85), зависящего только от времени t, но не от положении х точки и её скорости х'. Свободные колебания не означают, что система предоставлена самой себе, т.е. находится под действием одной лишь восстанавливающей силы. На неё, вообще говоря, воздействуют внешние тела, и это воздействие может быть двоякого рода: во-первых, собственно сопротивление, выражаемое силой трения, и, во-вторых, сообщение энергии системе от некоего внешнего источника. Поскольку вынуждающая сила f(t) тоже является внешним источником работы, то физическое различие между «свободными» и «вынужденными» колебаниями заключается не в отсутствии или наличии внешнего источника, а в таком характере его действия, который в первом случае приводит к однородному, а во втором – к неоднородному уравнению движения. Внешние источники работы, приводящие к свободным колебаниям, могут иметь различную природу. Например, мотор, движущий ремень, совершает работу над телом М и, что любопытно,- с помощью силы сухого трения. Эта сила увлекает тело М и тем самым сообщает ему скорость (т.е. кинетическую энергию), а также, смещая тело, растягивает пружину и тем самым сообщает телу потенциальную энергию. Этот процесс обычно называют «положительным сопротивлением» – термином, не вполне удачным, которым, однако, для краткости мы будем пользоваться. Итак, под положительным сопротивлением мы будем понимать наличие внешнего источника, совершающего над рассматриваемым телом положительную работу при помощи

силы трения. Последнее не обязательно должно быть сухим, легко представить положительную работу, совершаемую над телом и при посредстве силы трения, например, при обдувании тела потоком воздуха. Описанный источник положительного сопротивления – движущийся ремень – соответствует случаю свободных колебаний, описываемому однородным уравнением, притом с постоянными коэффициентами. К подобному же однородному уравнению с постоянными коэффициентами можно прийти, задавая внешний источник работы в виде запаса потенциальной энергии (созданного, например, сжатой пружиной или поднятой гирей), которая расходуется толчками. В этом случае при каждом толчке колеблющему-

ся телу будет скачкообразно сообщаться кинетическая энергия, т.е. каждый толчок задаёт телу новые начальные условия. Такой способ воздействия оставляет неизменным вид уравнений движения, а задаёт лишь начальные условия, что имеет силу в интервале времени

между последовательными толчками. Примером устройства такого типа являются часы. Колебательное движение в часах обладает своеобразными особенностями и принадлежит к типу автоколебательных движений.

2. Установим некоторые характерные признаки автоколебательных движений на примере простой механической системы, которая может служить также моделью устройства часов. Затухание колебаний массы М от наличия сухого трения можно устранить, а процесс сделать стационарным периодическим, если материальной точке сообщать в некоторых её положениях мгновенные толчки (удары), так чтобы при практически неизменном положении скорость её изменялась скачком. На фазовой плоскости каждый такой толчок опишется перескоком изображающей точки на другую фазовую траекторию (вертикальные отрезки на рис. 47), и если, двигаясь по ней, точка придёт в исходное положение А (рис. 47), то процесс колебания станет стационарным периодическим. Например, допустим, что материальная точка движется справа налево (см. рис. 47) и, проходя через точку х = + k, подвергается в ней определенному толчку в направлении движения (на рис. 47 это соответствует перескоку из точки S в точку Р); двигаясь далее по фазовой траектории РВС, она приходит в точку С с координатой х^/. Если х ^/ = х₀ и в точке S каждый раз сообщать толчок, перебрасывающий материальную точку из механического состояния S в состояние Р, то процесс делается стационарным периодическим.

О характере толчка можно сделать разные предположения. Можно допустить, что при каждом толчке количество движения меняется на определенную величину:

mv₂ – mv₁= const. (147)

где v₁ – скорость тела до толчка, а v₂ —после него. Можно также предположить, что толчок меняет на определенную величину кинетическую энергию:

0,5mv - 0,5mv =0,5mh (148)

Равенства (147) и (148) являются физическими гипотезами о действии спускового механизма; естественно, оба они представляют упрощенные механические модели. Сравнивая теоретические результаты с опытом, можно отметить, что гипотеза (148) лучше описывает свойства часового механизма; в дальнейшем поэтому ограничимся ею.

Итак, пусть в некоторый момент, при определенном значении координаты, материальная точка получает толчок, мгновенно меняющий её скорость на величину, зависящую от значения скорости до толчка, так, что приращение ее кинетической энергии постоянно и согласно (148) равно 0,5mh.

Можно для простоты представлять колеблющуюся массу в виде тела М и полагать, что она получает толчки (посредством спускового механизма, не изображенного на чертеже) при прохождении справа налево через положение х = + k.

Величина отрезка SР, равная приращению скорости, зависит по (47) от величины отрезка О₂S, равного v₁ – модулю скорости до толчка.

Если толчок таков, что при дальнейшем движении точка С с координатой х^/ совпадёт с А, т.е.

х^/ = х₀ (149)

то колебательный процесс будет стационарным; условие (149) и есть условие стационарности. Считая, что постоянная в (148) является определённым параметром спускового приспособления, будем рассматривать (149) как условие, налагаемое на х₀ при фиксированном h, и выразим значение х₀ явно через параметры механизма h и k; это можно сделать, поскольку х^/ - однозначная функция х₀. Найдём её явный вид.

Дадим математическое описание автоколебательного процесса на примере колебаний при сухом трении (задача 4.69, Иродов) /15/. Отличительной чертой этих колебаний является перескок центра колебаний каждые полпериода в моменты времени, когда скорость обращается в нуль (меняет знак). Уравнение движения запишем в виде: ma = - k₁x ± μmg, или в стандартном виде x" + ω₀² x = ± k,

μmg – сила трения покоя, μg = k.

Преобразуем это уравнение следующим образом

= ± k - ω₀² x, или v = ± k - ω₀² x.

Наша цель – построение фазовых траекторий автоколебаний, поэтому мы можем постоянную величину ω₀ положить равной единице, что всего лишь изменит масштаб по оси v, но существенно упростит построение. Итак, пусть

x" + ω₀² x = - k, при v > 0, и x" + ω₀² x = + k при v < 0,

что дает на основании предыдущего

vdv = (k – x) dx, или vdv = - (k – x) d(k – x).

Интегрируя эти выражения, соответственно имеем

v² + (x - k)² = R₁ ² при v < 0 и v² + (x + k)² = R₃² при v > 0. (150)

Здесь R ₃ и R₁ – постоянные интегрирования (радиусы окружностей). Фазовые траектории представляют собой полуокружности с центрами (± k, 0), поскольку каждое из них справедливо только в течение полупериода. Эти центры – суть точки равновесия сил упругости и сил трения скольжения: k₁x = μmg. Отсюда x = , или в новом масштабе x = k.

Поскольку сила трения покоя всегда равна приложенной силе, то колебания прекратятся в точке х, для которой - k £ х £ k.

Начнем движение с положительной координаты х₀ с нулевой скоростью v₁ в направлении против оси х.

Выйдя из начального положения А (координата х₀), изображающая точка описывает четверть окружности АS с центром в О₂ (рис.47). Из рис. 47 имеем:

О₂А = О₂ S = R = v₁ = х₀ -- k (151)

Далее, после толчка, изображающая точка описывает четверть окружности РВ радиуса О₂Р = R₂ = v₂ вокруг прежнего центра О₂, причём по (150)

R₂ = v₂ =

и, так как согласно (151) v₁= x₀ — k, то

R₂ = v₂ = . (152)

Начиная от В, изображающая точка движется по окружности радиуса R₃, т.е. вокруг центра О₁, причем радиус R₃, как видно из рис. 47, равен:

R₃ = BO₁ = BO₂ – 2k = R₂ -- 2k. (153)

Из рис. 47 также имеем:

x^/ = OC = O₁C – k = R₃ – k (154)

(точка С с координатой x^/ лежит справа от точки О).

Сопоставляя (153) и (154), получаем:

x^/ = R₂ ^-- 3k. (155)

Наконец, подставляя сюда R₂ из (152), получаем окончательно:

x^/ = . (156)

Внося (156) в условие стационарности (149) и разрешая относительно х₀, находим:

x₀ = – k. (157)

Рис. 47. Фазовые траектории осциллятора при подводе к нему

энергии толчком

Это значение амплитуды должно быть больше, чем k: только тогда квазиупругая сила ( = x при нашем выборе единицы времени, ω₀ = 1) превысит силу трения покоя и колебательное движение сможет начаться:

> k.

Таким образом, условие, налагаемое на величину h, т.е. требование к устройству спускового механизма, имеет вид

h > 16k^2.. (158)

Итак, если величина толчка, определяемая параметром h, удовлетворяет условию (158) (т.е. он превышает минимальный порог, 16 k²), а начальная амплитуда – условию (157), то спустя период амплитуда возвращается к своему начальному значению и колебательный процесс становится периодическим стационарным с амплитудой (157).

Возникает вопрос: установится ли стационарный колебательный процесс, если начальная амплитуда х₀ не равна h (что практически всегда будет иметь место, т.к. немыслимо задать физическую величину с абсолютной точностью)?

Ответ оказывается утвердительным: если требование (158) выполнено, а начальная амплитуда х₀ отличается от (157) на малую величину ε:

x₀ = – k + ε (159)

и автоколебательная система предоставлена самое себе, то с каждым периодом амплитуда колебаний (159) будет приближаться к стационарному значению (157), т.е. система самопроизвольно придет к стационарному колебательному режиму с амплитудой (157). Этот факт нашел отражение в самом наименовании системы как автоколебательной. При доказательстве этого утверждения ограничимся случаем, когда ε - малая сравнительно с – k величина, квадратом которой можно пренебречь.

Спустя период амплитуда принимает значение х^/, даваемое формулой (156); подставляя (159) в (156), имеем:

x^/ =

(под корнем мы пренебрегли членом ε²). Далее, извлекая корень и снова отбрасывая ε², получаем:

x ^/ = (160)

где обозначено:

(161)

Как видно из (161), > 0, а из (158) вытекает, что < 1; следовательно, множитель при ε в (160) удовлетворяет неравенству

0 < (162)

Учитывая (162), из сравнения (160) с (159) видим, что величина x^/, отличавшаяся от стационарной на величину ε, спустя период отличается от неё на ε - величину по модулю меньше | ε |, т.е. приблизилась к стационарному значению (как в случае ε < 0, так и при ε > 0). Так будет с каждым периодом. Через n периодов отличие амплитуды от ее стационарного значения выразится величиной ε , т.е. стационарное значение установится практически очень быстро.

Примерами автоколебаний в авиации являются флаттер (flatter - дрожание, вибрация) и шимми (shimmy – танец, вид фокстрота).

Флаттер – самовозбуждающиеся упругие колебания отдельных агрегатов ЛА, возникающие в полёте при достижении некоторой скорости, характерной для каждой конструкции. Они поддерживаются за счёт энергии набегающего потока воздуха.

Шимми – самовозбуждающиеся колебания носового колеса трехколёсного шасси самолёта на рулении, разбеге и пробеге, выражающиеся в рыскании колеса. Причина – неудачное сопряжение кинематических пар колеса. Колебания совершаются за счёт кинетической энергии вращательного и поступательного движения колеса.

Дата добавления: 2015-07-18