Читайте также:
|
|
ФИЗИКА
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Часть 2
Методические указания
по выполнению курсовой работы
для студентов дневной и заочной форм обучения
по авиационным специальностям
Минск - 2008 г.
УДК 53 075.32
ББК 22.3я722
Ф 50
Автор
А.И.КИРИЛЕНКО
кандидат физико-математических наук, доцент
Издание второе, переработанное и дополненное
Рецензенты:
Заведующий лабораторией НИИ прикладных физических проблем им. А.Н.Севченко Белгосуниверситета доктор физико-математических наук, профессор В.К.Гончаров и доктор физико-математических наук В. И. Попечиц
Одобрено и рекомендовано к изданию научно-методическим советом МГВАК (протокол № 6 от 15 февраля 2008 г.)
Пособие содержит общие требования и краткие методические указания по выполнению работ, перечень тем курсовых работ, список рекомендуемой литературы. Пособие предназначено для студентов стационара и заочной формы обучения по авиационным специальностям.
Разбиение пособия на две части связано с техническими причинами.
МГВАК, 2002
МГВАК, 2008
Параметрические колебания. Параметрический
резонанс
На колебательную систему внешние силы могут воздействовать двояким образом. Во-первых, к ней может быть приложена дополнительная внешняя сила. В электрических цепях это соответствует введению в контур вынуждающей ЭДС или введению заданного тока в какой-либо элемент цепи. Во-вторых, внешней силой может изменяться один из параметров системы. Такой вид воздействия называется параметрическим.
Рис. 42. Колебательный контур с электроемкостью зависящей от вре
мени.
Возьмем линейный колебательный контур (рис. 42), состоящий из последовательно соединенных резонатора, индуктивности и емкости (R,L,C). Пусть емкость конденсатора в контуре меняется во времени с помощью внешнего механического устройства так, что имеет вид, представленный на рис.43.
Предположим, что изменения емкости малы и заряд на конденсаторе изменяется по закону близкому к гармоническому. Если емкость меняется скачком на 2ΔС причем уменьшается, то энергия конденсатора при каждом скачке увеличивается (). Заряд q при скачкообразном изменении емкости не изменяется, т. к. является инерционной величиной. Возможно так подобрать частотные и фазовые соотношения между q(t) и С(t), чтобы емкость конденсатора уменьшалась каждый раз точно в те моменты, когда заряд на конденсаторе достигает минимальной или максимальной величины (рис.43).
При этом поступление энергии в систему будет максимальным, т. к. при раздвижении обкладок конденсатора для уменьшения емкости совершается максимальная работа против электростатических сил притяжения между его пластинами.
Как видно из рис.43, частота изменения параметра (емкости) в нашем случае в два раза выше частоты колебаний в контуре.
Рис. 43. Изменения емкости, напряжения и заряда на ней в зави
симости от времени.
Рассмотрим приращение электростатической энергии конденсатора ΔW, которое получается в момент скачка емкости
.
Здесь q0 - максимальный заряд (по модулю) на конденсаторе при обычном колебательном режиме; кроме того, мы считаем ΔС < < С0. Поэтому
.
Здесь W0 – энергия, запасенная в конденсаторе до скачка емкости:
.
Введем коэффициент m, называемый глубиной модуляции параметра
.
Через этот параметр приращение энергии колебаний в контуре запишется в виде:
ΔW = W0 · 2m. (133)
Это соотношение является достаточно общим. Оно справедливо и для механических колебательных систем (человек приседает и встает на качелях). Оно выражает простой закон параметрической накачки энергии: величина изменения энергии колебаний пропорциональна величине энергии запасенной в контуре.
В соответствии с выбранным фазовым соотношением между накачкой и колебанием, совершаемым в контуре, скачкообразное увеличение емкости в момент времени, аналогично с t2 на рис. 43, не вызывают изменения энергии в системе, т. к. происходят в такие моменты времени, когда заряд на пластинах конденсатора равен нулю. За один период колебания энергия вкладывается в колебания два раза, строго говоря, неодинаковыми порциями ΔW, однако при ΔC << C0 эта порция отличается мало и общее приращение энергии колебаний за период составит
. (134) Рассмотрим потери в контуре. Будем считать колебания заряда конденсатора приближенно гармоническими: q = q0sin ω0t;
тогда сила тока в контуре и мощность потерь на активном сопротивлении контура R составит Q = I2R. После усреднения по периоду колебаний, учитывая, что среднее значение величины y = cos2x за период равно
,
будем иметь .
Энергия, теряемая за период колебаний,
. (135)
Сравнивая выражения (134) и (135), получим условие, при выполнении которого поступающая энергия превосходит потери и в системе происходит нарастание колебаний
; , (136)
или в другом виде m > m порог = ,
где
логарифмический декремент затухания контура.
Такой процесс возбуждения колебания энергоемкого параметра колебательной системы мы назовем параметрическим возбуждением колебаний или параметрическим резонансом.
Если емкость менять с тем же периодом, но по другому закону, то получим тот же результат, но коэффициент в (136) будет отличен от и меньше его, т.к в рассматриваемом случае мы выбрали самый оптимальный способ сообщения энергии системе. Понятно, что нарастание колебаний в контуре и увеличение энергии этих колебаний происходит за счет работы внешних сил, изменяющих параметр.
В данном примере мы меняли параметр дважды за период собственных колебаний системы. Однако можно сообщать энергию системе за счет изменений параметра один раз за период, 2 раза за 3 периода и т.д. Если частота изменения параметра р, а ω0 - частота возбуждения колебаний, то энергия будет поступать в систему при условии
р = (137)
Конечно, передача энергии в возбуждаемую систему в течение периода её колебаний тем меньше, чем больше n.
В электрической цепи энергоемким элементом является наряду с емкостью и индуктивность L. Меняя её скачком в те моменты, когда ток максимален, мы получим те же результаты. Анализ удобно проводить, используя магнитный поток Ф, поскольку при изменении L изменяется I, но Ф = LI остаётся неизменным. Поэтому для энергии удобнее использовать выражение . Аналогично
= ,
где , .
В проведенном анализе линейной колебательной системы и потери, и прирост энергии колебаний пропорциональны энергии колебаний, т.е. квадрату их амплитуды. При этом происходит неограниченное нарастание амплитуды возбуждаемых колебаний (рис. 44). В линейных системах при внешнем силовом воздействии передача энергии пропорциональна первой степени амплитуды, а потери – квадрату амплитуды. В результате устанавливается конечная амплитуда вынужденных колебаний.
Отметим, что сопротивление в цепи не является энергоемким элементом, поэтому изменение параметра R не приводит к параметрическому возбуждению колебаний.
Рис. 44. Примерный вид фазовых траекторий параметрических
колебаний с различными амплитудами
Вывод: параметрический резонанс имеет место при выполнении определенных соотношений между частотой изменения параметра p (137) и частотой возбуждаемых колебаний, причем последняя близка или совпадает с собственной частотой возбуждаемой системы ώ0. Необходимо также выполнение условий (136), налагаемых на изменения параметра при заданном соотношении частот.
Дадим более строгое математическое описание процесса параметрических колебаний. Параметрический резонанс в линейных системах с одной степенью свободы описывается линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами
, (138)
где и периодические функции времени. Подстановкой
это уравнение преобразуется к стандартному уравнению Хилла
, где
периодическая функция. Частным случаем уравнения Хилла является уравнение Матье
. (139)
Решение этого уравнения ищут в виде
,
где χ(t) – ограниченные функции с периодом, равным периоду изменения параметра или с половиной этого периода; λ - комплексный характеристический показатель, вещественная часть которого определяет, имеет ли решение нарастающий или убывающий характер.
Пример. Пусть в системе с L и C индуктивность изменяется со времени по закону
Тогда уравнение, описывающее колебания в системе при p = 2ω, примет вид
Пусть, .
Тогда
, (140)
где , - функция, описывающая нелинейную характеристику конденсатора.
Будем искать решение уравнения (140) в виде . (141)
Продифференцируем (141) и подставим в (140). Получим
. (142)
Разложим функцию (t) в ряд Фурье с удержанием членов с и . Коэффициенты этого разложения α1 и β1 находятся по формулам
,
. (143)
Тогда из (142) имеем
; . (144)
Из этих уравнений находятся a и b, а через них - амплитуда A и фаза δ стационарного решения
; .
Конкретизируя результат, выберем нелинейную характеристику емкости в виде .
Тогда вычисление интегралов (143) дает:
; ,
а уравнения (144) принимают вид:
,
.
Эти выражения можно упростить и привести к виду:
,
, (145)
где
Данная система допускает решение a = b = A = 0. Как бы мы не изменяли длину подвеса маятника, когда он находится в состоянии покоя (равновесия), колебания в системе не возникнут. То же самое и в электрическом колебательном контуре.
Система (145) имеет решение при a ≠ 0, b ≠ 0 тогда, когда
.
Отсюда (146)
Значение A тем больше, чем меньше γ – коэффициент нелинейности систем. Выражение (146) верно при .
Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 166 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Спектры колебаний | | | Автоколебания |