Колебания связанных осцилляторов

Колебательные системы с двумя и более степенями свободы, рассматриваемые как совокупность систем с одной степенью свободы, взаимодействующие между собой, называются связанными.

Число степеней свободы определяется как минимальное число независимых переменных, необходимых для описания движений в системе. Число степеней свободы зависит от числа материальных точек, образующих систему, а так же от числа и характера наложенных на систему механических связей. Для свободной материальной точки оно равно 3, для свободного твердого тела – 6, для тела, имеющего неподвижную ось вращения, это число равно 1.

Связь между отдельными системами, обладающими одной степенью свободы, приводит к тому, что колебания в одной из них влияют на колебания другой.

Системы с одной степенью свободы, на которые можно разбить сложную колебательную систему, называются парциальными. Частоты свободных колебаний отдельных парциальных систем называются парциальными частотами полной системы.

В линейных системах связанные колебания могут быть представлены как суперпозиция нормальных колебаний, число которых равно числу парциальных систем (partialis – лат., частичный). Нормальными колебаниями называются свободные колебания линейных колебательных систем. В колебательных системах с конечным числом степеней свободы число различных возможных нормальных колебаний равно числу степеней свободы.

Проведем изучение свободных колебаний в системе с двумя степенями свободы на примере двух маятников, связанных пружиной и совершающих колебания в плоскости рисунка (рис. 55). Здесь колеблющиеся грузы массами m₁ и m₂ (материальные точки) подвешены на невесомых жестких стержнях длины L₁ и L₂, пружина, связывающая стержни, имеет массу m = 0 и жесткость s. Пусть х – смещение одного маятника, y - смещение второго маятника, φ₁ и φ₂ углы, на которые отклоняются от вертикали первый и второй стержни соответственно.

При малых углах отклонения (sin φ = tg φ = φ) уравнения движения масс можно представить в виде(будем считать массы маятников одинаковыми):

Рис.55. Колебания связанных осцилляторов

ma = mх″ = mg - sх + sy = - mg - s (x – y),

my″ = - mg + s (x – y).

Если x > y, то пружина растянута больше своей длины, при этом она уменьшает х и увеличивает y. Введем стандартные обозначения и перепишем эти уравнения

; , (180) . (181)

Введем новые переменные Х = х + y и Y = x – y.

Сложим (180) и (181):

т. е., . (182)

Вычтем из (181) уравнение (180):

, . (183)

Решение этих уравнений дает нормальные колебания с различными частотами.

1) Если Y = 0 т. е. х = y при всех t, то жесткость не оказывает влияния на характер движения (что она есть, что ее нет)

2) Если X = 0, то х = - y, частота колебаний больше, т. к. маятники колеблются в противофазе. Пусть

Х = a (cos ω₀ t + cos ω₁ t), Y = a (cos ω₀ t – cos ω₁ t).

Тогдаскорости

Х′ = - a (ω₀ sin ω₀ t + ω₁ t), Y′ = - a (ω₀ sin ω₀ t – ω₁ sin ω₁ t).

Движение первого маятника:

.

Движение второго маятника:

.

Идет обмен энергией; обмен полный, если m₁ = m₂ и отношение - целое число; в противном случае ни одно из тел никогда не будет совершенно неподвижным.

Итак, связанные колебания описываются суммой гармоник с разными частотами ω₀ и ω₁ (нормальных гармоник):

,

,

= - ω₀Аsin (ω₀ t + φ₀)- ω₁ Вsin (ω₁ t + φ₁),

= - ω₀Аsin (ω₀ t + φ₀)- ω₁ Вsin (ω₁ t + φ₁).

Общее колебание – суперпозиция нормальных колебаний.

А, В, , - неизвестные, их находим из начальных условий для смещений и скоростей:

= А cos + B cos ,

= A cos - B cos ,

= - ω₀Аsin φ₀ - ω₁ Вsin φ_1,

= - ω₀Аsin φ₀ - ω₁ Вsin φ₁.

Связанные колебания демонстрируют нам возможность волновых движений. Волновое движение возможно лишь при наличии таких колеблющихся систем, которые взаимодействуют между собой и способны передавать друг другу свою энергию.

Если массы связанных маятников, изображенных на рис.55, неодинаковы, то уравнения движения принимают вид

, (184)

. (185)

Домножим (184) и (185) на m₂ и m₁ соответственно и вычтем из первого второе:

, (186)

,

.

Выберем нормальную координату , тогда последнее уравнение примет вид:

.

Соответствующая Y нормальная частота

. (187)

Сложим (184) и (185):

.

Для того, чтобы обобщенная координата имела размерность длины (т. е. такую же, как и Y) разделим обе части на m₁ + m₂

.

Для обобщенной координаты имеем частоту

. (188)

Итак, имеем

, (189)

. (190)

Возьмем начальные условия

Х (0) = А; y (0) = 0; х¹(0) = y¹ (0) = 0.

Из системы

найдем х и y через Х и Y

; ,

.

Теперь можем записать законы колебания связанных осцилляторов:

, (191)

(192)

Продифференцируем (191) и (192), т. е. найдем скорости

, (193)

. (194)

Применим к (191) – (194) начальные условия:

, (m₁)

, (m₂)

, (m₁)

. (m₂) (195)

Решение этой системы позволяет найти Х₀, Y₀, φ₁ и φ₂ и тем самым конкретизировать решения (191) и (192).

Сложим первое и второе уравнения (195), домножив соответственно на m₁ и m₂. Получим

. (196)

Аналогично поступаем с третьим и четвертым уравнениями:

, => φ₂ = 0. (197)

Из (196): . (198)

Из третьего и четвертого уравнений находим, что

φ₁ = 0. (199)

Из второго уравнения имеем

; ;

Y₀ = A.

Окончательно (200)

,

. (201)

Пусть масса первого осциллятора . Тогда из (201) имеем

,

.

Первый осциллятор связи s не замечает. На второй осциллятор она влияет существенным образом.

Энергетические соотношения

Можно показать, что в этом случае слабой связи (пренебрегая энергией деформации пружины) энергия колебаний в компонентах равна

,

,

где М = m₁ + m₂.

Отметим, что энергия Е_х изменяется от максимального значения Е (при t = 0) до минимального значения , тогда как Е_y колеблется с частотой биений ω₂ – ω₁ между минимальным нулевым значением (при t = 0) и максимальным значением .

Рассмотрим воздействие внешней периодической силы на систему двух связанных осцилляторов.

Пусть на правый маятник связанной системы действует горизонтальная сила F₀ cos ωt. Если учесть малую константу сил сопротивления r, то уравнения движения можно записать в виде

Можно показать, что уравнения движения для нормальных координат Х = х + y и Y = х – y совпадают с уравнениями движения для осцилляторов с затуханием, на которые действует внешняя сила F₀ cos ωt. Решив эти уравнения относительно Y и Х в пренебрежении величиной r, можно показать, что

где ; .

Отсюда следует, что

.

Представим графически зависимость смещения осциллятора от частоты. Отсюда видно, что вне частотного интервала от ω₁ до ω₂ амплитуда смещения y меньше амплитуды смещения х.

Если углы отклонения маятников положения равновесия малы (sin j = j), то кинетическая и потенциальная энергия системы равны (при скорости v = L j^'(t) и величине деформации пружины x = а j(t), L – длина подвеса, а – расстояние от точки, в которой стержень закреплен шарнирно, до точки крепления пружины):

, (202)

, (203)

где к – жесткость пружины. Последний член в выражении для потенциальной энергии U представляет собой энергию сжатой пружины.

(Зная выражения кинетической и потенциальной энергий, можно записать уравнение движения системы (уравнение Лагранжа для системы без потерь):

, ). (204)

Можно получить:

, (205)

. (206)

При j₂ = 0 в (205) получим уравнение движения первой парциальной системы, а при j₁ = 0 из (206) – второй с частотами

, . (207)

Эти частоты часто называют парциальными.

Если ввести коэффициенты связи , , то уравнения колебаний принимают вид:

(208)

Для нахождения функций φ₁(t) и φ₂(t) мы имеем систему двух линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение этой системы будем искать в виде

φ₁ = A cos (ωt + ψ₁ ) и φ₂ = B cos (ωt + ψ₂ ). (209)

После подстановки этих решений в (208) получим систему линейных алгебраических уравнений:

-ω² А + ω₁² А – α₁В = 0, -ω² В + ω₂² В – α₂А = 0. (210)

Эта однородная система может иметь отличные от нуля решения для А и В только тогда, когда ее определитель равен нулю. Это дает

ω⁴ - ω² (ω₁ ² + ω₂²) + ω₁ ² ω₂²= 0. (211)

Решение этого уравнения дает две возможные частоты колебаний системы

ω_с12 = 0,5(ω₁ ² + ω₂² ± . (212)

Это собственные или нормальные частоты системы, т.к. они определяются только свойствами системы. Из системы (210) найдем отношение амплитуд А и В на некоторой частоте ω₁₁:

.

Эта величина полностью определяется параметрами системы и не зависит от начальных условий. Ее называют коэффициентом распределения амплитуд на частоте ω₁₁.

Таким образом, амплитуда колебаний одного из маятников на частоте ω₁₁ может быть произвольной. Она определяется начальными условиями. Амплитуда колебаний второго маятника на той же частоте всегда находится в определенном отношении к амплитуде колебаний первого маятника. Найдем теперь χ₂ – коэффициент распределения амплитуд на частоте ω₁₂:

.

Теперь общее решение уравнений (208) можно записать в виде

(213)

Теперь постоянные А₁, А₂, ψ₁, ψ₂ определяются начальными условиями.

Таким образом, колебания маятника в общем случае представляют собой сумму двух гармонических колебаний с частотами w₁₁ и w₁₂ . Если парциальные частоты маятников разные, то собственные частоты имеют вид

, . (214)

При равенстве масс маятников соотношение (214) упрощается:

, . (215)

Коэффициент распределения χ₁ характеризует относительную величину амплитуды первого колебания второго маятника, т.е. во второй координате. Поэтому условие χ₁ << 1 показывает, что первый маятник колеблется в основном с частотой ω₁. Это означает, что физическая связь между системами мала (мало их взаимодействие). Случаю χ₁ << 1 всегда соответствует условие | χ₂| >> 1, т.е. колебание второй частоты преобладает во второй координате. Слабая физическая связь между системами дает основание рассматривать колебания в двух взаимодействующих системах как собственное колебание одной из парциальных систем с большой амплитудой, вынуждающей слабые колебания во второй системе. Для характеристики связанных систем Л. И. Мандельштамом было введено понятие связанности, определяющее степени физической связи между парциальными системами.

Связанностью системы называется величина

. (216)

Как видно из этого выражения, связанность определяется не только коэффициентами связи, но и близостью значений парциальных частот. При равенстве парциальных частот связанность системы велика, даже при малых коэффициентах связи. Можно оценить взаимодействие парциальных систем по степени передачи энергии от одного маятника к другому.

При равенстве парциальных частот ω₁ = ω₂ = ω колебания маятников принимают вид:

(217)

Разность частот (w₂ - w₁) существенно меньше их сумм, поэтому функции и меняются со временем гораздо медленнее, чем функции и . Вследствие этого колебания маятников происходят по гармоническому закону, но амплитуда колебаний не постоянна, а медленно меняется с течением времени по гармоническому закону. Таким образом, колебания маятников при равенстве парциальных частот носят характер биений, огибающая которых сдвинута по времени на четверть периода, т.е. периодически происходит перекачивание энергии от одного маятника к другому. В полной перекачке энергии и заключен физический смысл понятия сильной связанности системы. Обмен энергией происходит независимо от коэффициента связи между системами. Однако время t перекачки энергии зависит от коэффициента связи. Время t равно

. (218)

Коэффициент связи можно изменять, передвигая пружину. При этом изменяется собственная частота противофазного колебания системы w_2. Коэффициент связанности зависит от парциальных частот маятников. парциальная частота каждого маятника определяется его длинной и регулируется изменением высоты подвески грузов. Для равных парциальных частот коэффициент связи может быть определен по формуле.

. (219)

При значительном различии парциальных частот связанность системы мала даже при больших значениях коэффициента связи. В этом случае лишь часть энергии переходит от одной парциальной системы к другой. Причем чем сильнее различия, тем меньшей энергией обмениваются системы при взаимодействии. Энергия с частотой синфазных колебаний сосредоточена в основном в низкочастотной части системы.

Наоборот, энергия противофазных колебаний – в высокочастотной парциальной системе, то есть на частоте w₁+w₂ более короткий маятник колеблется с большей амплитудой.

При выполнении соответствующей лабораторной работы необходимо воспользоваться соотношениями (218) и (219). С учетом того, что

,

они запишутся так:

, , (220)

где t ₁ и t₂ – время, за которое система совершит n колебаний синфазно и противофазно соответственно, при заданном (положением пружины) g.

Пример выполнения лабораторной работы

Принадлежности: 1) установка, 2) секундомер.

Краткая теория и описание установки. Совокупность двух или нескольких маятников, каким – либо образом связанных между собой, представляет связанную систему. В качестве примера рассмотрим систему, изображенную на рис. Она состоит из двух совершенно идентичных пружинных маятников 1, 2, представляющих грузы массой m, подвешенные на пружинах 3, 4 жесткости k и расположенные на одной вертикали один под другим.

Если эти маятники связать между собой с помощью третьей пружины 5 жесткости k₁₂, то получим связанную систему с двумя степенями свободы.

В положении равновесия обоих грузов сумма силы тяжести и упругих сил, действующих на каждый груз, а именно силы тяжести и упругих сил, равна нулю. Если один груз вывести из положения на величину х₁, а второй на величину х₂, то появятся упругие силы, «стремящиеся» вернуть систему в положение равновесия, при этом результирующая сила, действующая на первый груз, будет равна f₁ = - kx₁ – k₁₂ (x₁ – x₂), а на второй f₂ = - kx₂ – k₁₂ (x₂ – x₁).

Уравнение движения каждого груза запишется следующим образом:

kx₁ + k₁₂ (x₁ – x₂) + m ₁ = 0, kx₂ + k₁₂ (x₂ – x₁) + m ₂ = 0.

Складывая эти уравнения и вычитывая одно уравнение из другого, получим два независимых уравнения:

k X + m = 0,

(k + 2 k₁₂) Y + m = 0,

где Х = х₁ + х₂ и Y = х₁ – х₂.

Решение этих уравнений хорошо известно:

Х = А cos (ω₁ t + φ), Y = B cos (ω₂ t + ψ),

где , т. е. частоте, с которой колебались бы оба груза при отсутствии связи, и .

Частоты ω₁ и ω₂ носят название нормальных частот. Константы А, В, φ и φ находятся, как обычно, из четырех начальных условий. В нашем случае такими условиями будут значения двух координат и двух скоростей грузов в начальный момент времени. Так, например, если обе скорости в начальный момент равны нулю, т. е. ₁ (0) = ₂ (0) = 0, то, как следует из определения, (0) = (0) = 0, а это означает, что φ и ψ должны равняться нулю. В дальнейшем будем подразумевать, что это условие всегда выполняется.

Для того чтобы разобрать характер движения того или иного груза, найдем явное выражение х₁ (0) = х₁₀ и х₂ (0) = х₂₀.

Так как , то

.

В начальный момент времени ,

откуда А ₂= х₁₀ + х₂₀ и В = х₁₀ – х_{2 0}.

Общее решение системы полученных уравнений при условии ₁ (0) = ₂ (0) = 0 запишется так:

,

.

Отсюда видно, что движение каждого груза представляет суперпозицию двух колебаний с нормальными частотами ω₁ и ω₂. При этом, вообще говоря, будут наблюдаться биения. Однако специальным подбором начальных отклонений можно добиться того, что колебания с той или иной частотой возбуждаться не будут.

Действительно, пусть х₁₀ = х₂₀, т. е. оба маятника отклонены вверх (или вниз) на одинаковую величину от положения равновесия. При этом оба груза будут колебаться синфазно с частотой ω₁ = ω₀. Если х₁₀ = - х₂₀, т. е. грузы отклонены на одинаковую величину от положения равновесия, но в разные стороны, то оба груза будут колебаться в противофазе с частотой ω₂.

Биение лучше всего наблюдать, когда начальное отклонение одного из грузов равно нулю.

Пусть х₂₀ = 0, тогда

,

.

Используя известные тригонометрические соотношения, получим

,

.

Так как связь по условию задачи слабая, т. е. k₁₂ << k, то ω₂ – ω₁ << ω₁, поэтому будет изменяться более медленно, чем . Это позволяет рассматривать движение грузов как колебание с частотой и сравнительно медленно меняющейся амплитудой.

В начальный момент второй груз покоится, т. е. амплитуда колебаний равна нулю. Через некоторое время колебания станут заметны, и через время амплитуда колебаний станет максимальной, после чего вновь начнет уменьшаться и обратится в нуль в момент .

Период биения определяется как время между двумя последующими минимальными значениями амплитуды. В нашем случае период биения равен времени между двумя последующими моментами, когда амплитуда колебаний одного из грузов обращается в нуль, т. е. период биения равен , откуда частота биения равняется просто разности нормальных частот ω_б = ω₂ – ω₁.

Это соотношение выполняется в самом общем случае.

Прибор состоит из двух одинаковых пружинных маятников 6 (см. рис.), подвешенных один под другим и связанных при помощи пружины.

Для того чтобы добиться строго одинаковой частоты колебания обоих маятников, длина рабочей части пружины нижнего маятника может несколько изменяться путем перемещения пружины вверх или вниз и закрепления ее верхнего конца в нудном положении.

Для отклонения маятников на одинаковую величину вверх и одновременного пуска их имеется специальное пусковое устройство. Оно состоит из вертикальной штанги 7 (см. рис.) с двумя платформами 5. Платформы можно перемещать по штанге и закреплять в нужном положении. Штанга свободно перемещается вверх и вниз внутри двух направляющих муфт 4. Нижнее положение штанги ограничивается стопором 1 или шаблоном 2, который закладывается между стопором и штангой. В верхнем положении штанга закрепляется с помощью задерживающего устройства 3.

Измерения. В задаче требуется определить частоту собственных колебаний, обе нормальные частоты и частоту биений для различных пружин связи.

Прежде всего следует убедиться в том, что собственные частоты у обоих маятников совпадают с достаточной точностью. Для этого нужно в отсутствие связи привести оба маятника в синфазные колебания и проследить, появляется ли после достаточно большого числа колебаний (порядка 100 – 200 полных колебаний) заметный сдвиг по фазе. Если сдвиг обнаружен не будет, значит, установка отрегулирована правильно. В противном случае придется изменить рабочую длину нижней пружины, однако делать это без разрешения преподавателя или лаборанта не рекомендуется. Частота собственных колебаний определяется путем измерения времени не меньше чем 100 полных колебаний одного из маятников. Таких измерений нужно произвести несколько для одного и другого маятника, чтобы исключить ошибку в счете и оценить ошибку измерения.

Для того чтобы наблюдать «чистые» колебания с меньшей нормальной частотой, т. е. синфазные колебания без биений при наличии связи, необходимо отклонить оба груза 6 на одинаковую высоту и одновременно опустить. Для этого нужно приподнять штангу 7 на величину, определяемую специальным шаблоном 2, который подкладывается вниз под штангу (рис.). После этого надо подвести платформы 5 под оба груза 6 и закрепить их так, чтобы они только касались грузов и не выводили их из положения равновесия. Затем поднять штангу и закрепить ее в верхнем положении с помощью специального задерживающего устройства 3. При этом оба груза получат одинаковые отклонения вверх. Если теперь убрать шаблон и отпустить штангу, то оба груза придут в колебания с нормальной частотой ω₁. При этом пружина связи в процессе колебания не должна деформироваться.

Для определения частоты ω₁ нужно измерить время 100 полных колебаний одного из грузов.

Для возбуждения нормальных колебаний с частотой ω₂ необходимо оба груза отклонить на одинаковые расстояния, но в разные стороны. Для этого нужно с помощью нитки, которая пропускается внутрь пружины, стянуть пружину связи, но так, чтобы она была еще в растянутом состоянии. При этом будет выполнено условие х₁₀ = - х₂₀. Если после того, как грузы успокоились, пережечь нитку, то оба груза начнут колебаться в противофазе с частотой ω₂. При этом не должно наблюдаться ни каких биений.

Для определения частоты ω₂ измеряется время 100 полных колебаний.

Для возбуждения колебаний с биениями один из грузов отводится из положения равновесия на некоторую величину. При этом отклонение должно быть таким, чтобы пружина связи в процессе колебаний все время оставалась в натянутом состоянии. При таком способе возбуждения начальное смещение второго груза не будет в точности равно нулю, но оно будет мало в следствие условия k₁₂ << k. Для определения частоты биений нужно измерить время, равное 10 – 20 периодам биений. Полученные значения для нормальных частот и частоты биения нужно сравнить с теоретическими.

Жесткость пружины связи k₁₂ определяется на установке задачи 19 описанным там способом, а жесткость основных пружин k определяется по частоте собственных колебаний, так как массы обоих грузов даны.

Измерения нужно провести для 2 – 3 различных пружин связи.

Литература:

1. С. П. Стрелков, Механика, § 133, 135, 136, Гостехиздат, 1956.

2. С.П. Стрелков, Введение в теорию колебаний, ч. 2, гл. 1, Гостехиздат, 1951.

3. Физический практикум. Под ред проф. В.И.Ивероновой. Гос. издат. физ.-мат. лит. М., 1962, с. 126 - 131

4. Л.М. Мандельштам Лекции по теории колебаний. М., Наука, 1978 г.

5. Г. Пейн. Физика колебаний и волн. М., 1979 г.

Дата добавления: 2015-07-18