Колебания со многими степенями свободы

Мы рассматривали колебания с одной степенью свободы, когда колебания фактически происходят вдоль одной прямой или же происходит изменение одной координаты, например, угла поворота. Типовые примеры колебательных систем с одной степенью свободы представлены на рис. 51 а, б, в, г, д. Однако реально всегда колеблются трехмерные тела или электромагнитные системы большой сложности. При рассмотрении таких объектов говорят о колебаниях со многими степенями свободы. Число степеней свободы определяется как минимальное число независимых переменных, необходимых для описания движений в колебательной системе. В механической системе его можно найти как минимальное число точек, которые необходимо закрепить для того, чтобы прекратить движение. Для электрической системы эквивалентом закрепления является разрыв цепи, если независимой переменной служит ток, и замыкание цепи, если в качестве независимой переменной выбрано напряжение.

Необходимо четко представлять себе, что в этом определении речь идет не о реальной системе, а об идеализированной модели реальной системы. Практически любая реальная система обладает

Рис. 49. Схема лампового генератора (генератора Томсона). М - коэффициент взаимной индукции катушек, U_a, е_а – анодное напряжение, e_g – напряжение на сетке, Q – заряд на конденсаторе. Приведенные схемы эквивалентны

Рис. 50. Автоколебания при изгибно–крутильном флаттере крыла

Рис. 51. Различные механические колебательные системы с одной степенью свободы

бесконечным числом степеней свободы, если учесть все возможные в ней движения. Например, грузик, подвешенный на пружине, может рассматриваться как система с одной степенью свободы, если он совершает колебания только вдоль оси пружины. Но эта же система обладает тремя степенями свободы, если учесть еще и маятникообразные движения груза в двух плоскостях (рис. 6). Если же принять во внимание возможность колебаний, связанных с изгибом пружины, то число колебаний становится бесконечным. А ведь можно еще учесть и упругие колебания самого груза и даже колебания молекул, из которых состоит груз.

Поэтому определение числа степеней свободы, которые должны быть учтены в идеализированной системе, зависит от характера движения реального объекта. Как правило, можно пренебречь теми степенями свободы реальной системы, которым соответствуют частоты, сильно отличающиеся от частот рассматриваемых колебаний.

Простейшая модель – система с двумя степенями свободы. Ее можно рассматривать как две отдельные системы с одной степенью свободы, связанные друг с другом. Эта связь обеспечивает взаимное влияние колебаний в одной системе на колебания другой. Отличительной чертой таких систем является перекачка энергии из одной системы в другую. Системы с одной степенью свободы, на которые можно разбить сложную колебательную систему, называются парциальными.

В одномерной системе могут возникать различные по форме колебания. Типичный пример – струна. Она может возбуждаться так, что на ее длине будет один максимум отклонения, т.е. струна изгибается по одной полуволне (первая форма, частота пусть будет 440 Гц). Тогда двум максимумам отклонения по длине будет соответствовать вторая форма и частота 880 Гц, три максимума – третья форма с частотой 1320 Гц и т.д.

Конечно, струна – простейшая система. Собственные формы колебаний трехмерных объектов (зданий, машин) гораздо сложнее. Для примера приведем некоторые формы колебаний самолета и вертолета (рис. 52, 53, 54). Анализ таких колебаний не входит в задачу курса, но парциальные колебания могут быть проанализированы.

Рис.52. Амплитуда колебаний конца крыла самолета VC - 10

Рис. 53. Форма колебаний лопасти несущего винта в плоскости взмаха и типичная запись вибраций на вертолете: 1 – вибрация фюзеляжа в направлении вертикальной оси; 2 – вибрации фюзеляжа в направлении поперечной оси; 3 – вибрации в кабине летчиков

Рис. 54. Собственные формы колебаний самолета VC – 10 1. - Первая антисимметричная форма. Частота 1,85 Гц 2. - Вторая антисимметричная форма. Частота 2,56 Гц 3. - Третья антисимметричная форма. Частота 2,92 Гц 4. - Четвертая антисимметричная форма. Частота 3,96 Гц 5. - Пятая антисимметричная форма. Частота 4,28 Гц  

Дата добавления: 2015-07-18