Вынужденные колебания. Резонанс

Колебательный процесс, протекающий под действием внешней, периодически изменяющейся силы, называется вынужденным колебанием. Приложенную силу называют вынуждающей силой. Пусть она изменяется во времени по закону .

Дифференциальное уравнение колебательного процесса

или

,

где .

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением этого уравнения будет сумма двух колебаний — свободных затухающих и колебаний с частотой изменения вынуждающей силы. Первое слагаемое играет сколь-нибудь заметную роль только в начале процесса. Амплитуда второго возрастает, стремится к некоторому пределу A. Таким образом устанавливаются колебания

.

Установившуюся в конце концов амплитуду можно вычислить подстановкой x, v, a в дифференциальное уравнение. Приведем это значение

(10) .

Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (определенных w₀ и d) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. При некотором значении частоты амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом.

Частота, при которой амплитуда максимальна, называется резонансной частотой. Расчеты дают значения резонансной частоты и амплитуды.

(11) ;

(12) .

Из последней формулы видно, что при отсутствии сопротивления амплитуда обратилась бы в бесконечность.

Дата добавления: 2015-07-18