Спектры колебаний

В целом ряде практически важных случаев возникает задача о представлении сложного процесса (колебания, волнового движения, излучения, шума и т.д.) в виде набора (суммы) отдельных гармоник с дискретными или бесконечно близкими частотами. Сама операция носит название гармонического (спектрального) анализа, а набор гармоник – спектром (дискретным или непрерывным). Понятно, что каждая гармоника, представляющая собой монохроматическое (одночастотное) колебание входит в спектр не только со своей определенной частотой, но и с амплитудой, и фазой.

В математическом анализе выясняются возможности представления процессов (функций) в виде тригонометрических рядов, т.е. наборов гармоник. Важнейшие результаты в этом направлении были получены Фурье. В частности, он показал, что если процесс является периодическим, но не гармоническим, то он представляется дискретным спектром (рядом Фурье). Более того, если функция, описывающая процесс, является четной, то соответствующий ряд Фурье представляет собой набор косинусоид, а если нечетной – то синусоид. Если функция свойством четности не обладает, то в наборе присутствуют как синусоиды, так и косинусоиды. Если процесс описывается произвольной (непериодической) функцией, то его можно представить в виде непрерывного спектра – интеграла Фурье по частоте. Мы будем рассматривать только периодические процессы, т. е. ряды Фурье. Особенностью разложения Фурье по гармоникам, в основном определяющей его практические применения является то, что в ряде Фурье гармоники низших частот имеют большие амплитуды, чем гармоники более высоких частот, а в сплошном спектре практически всегда можно выделить определенную группу гармоник, амплитуды которых наиболее значительны. Именно такие гармоники определяют энергетику процесса и позволяют не включать в рассмотрение весь бесконечный набор гармоник.

Рассмотрим простейшее сложное колебание – гармонику, модулированную по амплитуде:

x = А cos(ωt - j) = а(1 + к cosn t) cos(ωt - j)= а cos(ωt - j)+ cos((n+ω)t - j) + cos((n- ω)t - j) (118)

Это сложное колебание мы представили в виде набора трех гармоник с несущей частотой ω и двумя боковыми частотами ω+n и ω -n. Зависимость амплитуд гармоник от частоты называется амплитудным спектром. Для данного случая он представлен на рис. 29. Начальные фазы у всех наших гармоник одинаковы, т.е. фазы не зависят от частоты гармоник. Если в более сложных случаях такая зависимость появляется, то говорят о фазовом спектре. Например, если гармоническое колебание получено в результате сложения двух одночастотных колебаний со своими амплитудами и фазами, то можно говорить об амплитудном и фазовом спектрах. Заметим, что поскольку гармоническое колебание можно разложить на два (и больше) таких же бесконечным числом способов, то говорить о спектрах отдельных гармоник бессмысленно.

Рассмотрим сложение одночастотных колебаний с одинаковыми амплитудами и равномерно (по линейному закону) нарастающими фазами. Исходные формулы имеют вид (а = ωt, h = φ)

cosa + cos (a + h) +…..+ cos[a + (n-1)h] = ;

sina + sin(a+h) +….+ sin[a + (n-1)h] = . (119)

Здесь амплитуды гармоник стоящих слева одинаковы, а их частоты равноотстоят друг от друга. Следовательно, спектр функций, стоящих справа в (119) представляет собой «гребенку» (см. рис. 30).

Другой пример – гребенка с амплитудами, нарастающими в арифметической прогрессии:

cosa+2cos2a+…..+n cos na = ;

sina + 2sin2a +….+ n sin na = . (120)

Фазовый спектр также может представлять гребенку (рис. 31).

Примеры разложения процессов в ряды Фурье представлены в таблице в /3/. Приведем несколько примеров.

Для четной периодической функции (рис. 32)

f (ωt) = (121)

Для нечетной периодической функции (рис. 33)

f (ωt) = (122)

Для периодической функции, не обладающей свойством четности и заданной на промежутке – π < β t < π функцией x(t) = exp(β t) (рис. 34), имеем ряд Фурье вида

f (ωt) = , (123)

где k – натуральное число.

Спектр затухающей гармоники f(t) = sin(ω₁t) является сплошным и имеет вид:

; (124)

. (125)

Иногда определяют следующие спектральные функции:

- амплитудный спектр

; (126)

- фазовый спектр

. (127)

Все эти спектральные функции для f(t) = A sin(ω₁t) при β = 0,01 с^-1, ω₁ = 10 рад/с представлены на рис. 37 - 40.

Рис. 29. Амплитудный спектр модулированного по амплитуде колебания

Рис. 30. Дискретный амплитудный спектр «гребенка» (119)

Рис.31. Фазовый спектр «гребенки»

Рис. 32. Дискретный амплитудный спектр (по формуле (120))

Рис. 33. Равномерный фазовый спектр

Рис. 34. Четная функция, описывающая колебательный процесс

Рис. 35. Нечетная функция, описывающая колебательный процесс

Рис. 36. Колебательный процесс, описываемый функцией, которая не обладает свойством четности

Рис. 37. Косинусный спектр затухающего колебания

Рис.38. Синусный спектр затухающего колебания

Рис.39. Фазовый спектр затухающего колебания

Рис. 40. Амплитудный спектр затухающего колебания

Рис.41. Векторная диаграмма, спектр и вид колебания, являющегося суммой гармоник с одинаковыми амплитудами и фазами, частоты которых нарастают в арифметической прогрессии

При суммировании конечного (или бесконечного) числа гармоник в узком спектральном диапазоне получаются функции, представляющие пакеты. Их часто называют волновыми. Дело в том, что волна, приходя в данную точку пространства, возбуждает в ней колебания. Если в эту же точку в данный момент времени приходят другие волны, то колебания, создаваемые ими, складываются тем или иным образом. Ранее (72 - 73) мы показали, что колебания разных частот можно сложить как колебания одной частоты, но с разными фазами. Наиболее практически важным является случай суммирования гармоник с дискретным набором равноотстоящих частот сосредоточенных в определенном интервале (рис. 41).

2.1.20. Нелинейные колебания

Нелинейные колебания совершаются тогда, когда силы, действующие на осциллятор (возвращающая, трения) описываются нелинейными функциями (рис. 2, раздел 2.1.14, (100)). Простейшим видом нелинейных колебательных процессов являются процессы в системе, компоненты которой конкурируют между собой /5/. Например, при эксплуатации техники конкурентными процессами являются ремонт (восстановление функций) и износ (старение). Для двух конкурирующих процессов задача нахождения динамики их изменения во времени была решена еще В. Вольтерра применительно к определению численности популяций в системе хищник - жертва (зоологическая или ботаническая модель). Оказалось, что математические модели ряда основных процессов, протекающих в организмах и клетках, в технических системах, в обществе сходны с моделью Вольтерра.

Пусть х – число жертв (зайцев), а у – число хищников (волков). В простейшем случае скорость изменения численности жертв определяется скоростью их размножения пропорциональной их количеству х, а также их гибелью от встреч с хищниками, которая пропорциональна произведению ху. Скорость изменения численности хищников определяется наличием пищи, т.е. пропорциональна величине ху, и скоростью их гибели, пропорциональной их числу у.

Пусть х – количество объектов, подлежащих восстановлению (ремонту), а у – затраты ресурсов (материальных, энергетических, финансовых). Скорость появления объектов х зависит от их количества, и, в частности, может быть пропорциональна этому количеству. Кроме того, в силу ограниченности ресурсов, скорость изменения объектов х пропорциональна выделению ресурсов у (не всегда хватает средств на ремонт всех объектов), т.е. произведению ху. Скорость выделения ресурсов у определяется наличием объектов ремонта х и может считаться пропорциональной х, а также величине ху. Коэффициенты перед ху в обоих случаях в принципе должны быть различными, т.к. выделенные ресурсы могут быть распределены потребителем по своему усмотрению (например, на чрезвычайные и аварийные ситуации).

В математическом виде имеем систему дифференциальных уравнений, описывающую указанные процессы:

= k₁x – kxy; = k¹xy – k₂y (128)

Здесь коэффициенты k – постоянны, а х и y - функции времени t.

Простота модели не только в том, что она двухкомпонентная, но и в том, что мы пренебрегаем другими многочисленными взаимодействиями между количествами х и у, считая указанные основными.

Система (128) нелинейна по причине наличия произведения ху. Стандартный метод решения таких систем состоит в их линеаризации, т.е. в получении стационарных (не зависящих от времени) решений и рассмотрении малых отклонений от стационарного состояния. Поскольку зависимость от времени исключена, то х₀ = const и у₀ = const. Следовательно,

,

и при этом (128) превращается в алгебраическую систему

k₁x₀ – kx₀ y₀ = 0,

k¹x₀ y₀ – k₂y₀ = 0.

Отсюда находим

у₀ = , х₀ = .

Теперь ищем решение системы (128) в виде

х = х₀ + α (t), у = у₀ + β(t). (129)

Подставляем (129) в (128), имеем:

= k₁α – kx₀β - k y₀α – kαβ,

= k¹x₀β+ k¹ y₀α + k¹αβ – k₂β.

Членами kαβ и k¹αβ можно пренебречь, т.к. они содержат произведение двух малых величин, х₀ и у₀ уже найдены. В результате получаем линеаризованную систему:

= - ; = . (130)

Продифференцируем первое уравнение по t и подставим из второго. Получим

= - k₁k₂α. (131)

Продифференцируем второе уравнение из (130) по t и подставим из первого. Получим

= - k₁k₂β. (132)

Уравнения (131) и (132) – стандартные уравнения колебаний. Частота колебания численности жертв и хищников одинакова и равна ω₀ = . С учетом начальных условий получим, что существует сдвиг фаз между гармоническими функциями х(t) и у(t), описывающими численность жертв и численность хищников:

х(t) = х₀ + α (t) = х₀ + Acos ( ω₀t + φ₁ ),

у(t) = у₀ + β(t)= у₀ + Bcos ( ω₀t + φ₂ ).

Эти функции описывают гармонические колебательные процессы около смещенного положения равновесия.

Содержание

		Введение
		Требования к выполнению курсового проекта (работы)
	1.1	Организация курсового проектирования (технология выполнения). Структура и содержание курсового проекта
	1.2	Общие требования к пояснительной записке
	1.3	Требования, предъявляемые к графической части
		Методические указания по выполнению курсового проекта (работы)
	2.1	Исходные положения. Теория и типовые задачи в пояснительной записке
	2.1.1.	Гармонические колебания
	2.1.2.	Математический маятник
	2.1.3.	Пружинный маятник
	2.1.4.	Комбинированные осцилляторы
	2.1.5.	Колебания в электрических цепях
	2.1.6.	Колебания в электростатическом поле
	2.1.7.	Колебания в магнитном поле
	2.1.8.	Вынужденные колебания. Резонанс
	2.1.9.	Рекомендации по решению задач
	2.1.10.	Сложение колебаний
	2.1.11.	Затухающие колебания
	2.1.12.	Релаксационные колебания
	2.1.13.	Резонанс смещений, скоростей, ускорений
	2.1.14	Ангармонический осциллятор
	2.1.15	Модулированные колебания
	2.1.16	Энергетический подход
	2.1.17	Добротность
	2.1.18	Фазовые траектории
	2.1.19	Спектры колебаний
	2.1.20.	Нелинейные колебания
	2.1.21.	Параметрические колебания. Параметрический резонанс
	2.1.22.	Автоколебания
	2.1.23.	Режимы работы осциллятора при подводе энергии
	2.1.24.	Колебания со многими степенями свободы
	2.1.25	Колебания связанных систем
		Вспомогательные материалы
	3.1.	Перечень тем курсовых работ
	3.2.	Указания к выполнению курсовых работ
	3.3.	Пример выполнения курсовой работы
	3.4.	Приборы и стенды
	3.5.	Заключительные замечания
	3.6.	Рекомендуемая литература
		Приложения
		Содержание

Дата добавления: 2015-07-18