Энергетический подход к нахождению периода колебаний

Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначим – х. В таких случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Величиной – х может быть угол отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояние отсчитываемое вдоль заданной кривой (в частности, прямой) линии, и т. п. В этом случае потенциальная энергия системы будет функцией одной переменной – х: U(x).

Рассмотрим одномерное движение частицы массой m в поле, описываемом потенциальной энергией U(x). Динамическое уравнение движения (второй закон Ньютона) для частицы имеет вид

,

где - ускорение частицы a (вторая производная от координаты по времени, а = ); F – сила, действующая на частицу, определяется видом потенциальной энергии и в данном случае

F = - (93)

Чтобы найти зависимость координаты от времени, надо проинтегрировать уравнение движения, которое является дифференциальным уравнением второго порядка. Однако в случае одномерного движения нет необходимости это делать. Так как потенциальная энергия U(x) не зависит от времени t, то энергия частицы должна сохраняться: E = const. Энергия частицы определяется суммой кинетической и потенциальной энергий

E = + U(x), (94)

где - скорость частицы (первая производная от координаты по времени):

.

Запишем закон сохранения энергии для пружинного маятника, совершающего колебания в горизонтальной плоскости

+ = Е

Продифференцировав это выражение по времени, мы получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

m x" + kx = 0. (95)

Для электрического колебательного контура без потерь (сопротивление R = 0) закон сохранения энергии можно представить в виде , i = ,

где первое слагаемое – энергия накопленная в магнитном поле катушки индуктивности, второе – энергия накопленная в электрическом поле конденсатора.

После дифференцирования по времени L q" + q = 0

Для крутильных колебаний закон сохранения энергии можно представить в виде

+ = Е, ω = ,

где первое слагаемое – кинетическая энергия поворачивающегося тела с моментом инерции J, второе – энергия упругой деформации закрученной нити, на которой подвешено данное тело (r – коэффициент пропорциональности).

После дифференцирования J α" + r α = 0.

Для физического маятника закон сохранения энергии можно представить в виде

+ mgh = E, h = l (1- cos α) = 2l sin² ≈ l , ω = ;

где первое слагаемое - кинетическая энергия поворачивающегося тела с моментом инерции J, второе – потенциальная энергия тела, чей центр масс в результате поворота поднят на высоту h.

После дифференцирования

J α" + mgl α = 0.

Относительно скорости уравнение (94) является дифференциальным уравнением первого порядка, которое можно проинтегрировать путем разделения переменных. Из уравнения (94) скорость частицы

. (96)

Откуда, разделяя переменные и интегрируя, получим

t - t₀ = ± . (97)

Поскольку кинетическая энергия - величина существенно положительная, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, т. е. движение может происходить только в тех областях пространства, где

U(x) < E.

Заметим, что подынтегральное выражение в (97) при этом всегда положительно.

Проиллюстрируем это обстоятельство графически. Пусть, например, зависимость U(x) имеет вид, изображенный на рисунке 23. Проведя на этом же графике горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии, мы сразу же выясним возможные области движения частицы.

Так в изображенном на рисунке случае движение может происходить лишь в области АВ или в области справа от точки С. Точки, в которых потенциальная энергия равна полной

E = U(x), (98)

определят границы движения. Они являются точками остановки, поскольку в них скорость обращается в нуль. Более того, можно ут-

верждать, что скорость будет менять знак на противоположный, что будет соответствовать двум знакам в формуле (92).

Если допустимая область движения ограничена точками остановки с обеих сторон (между точками х₁ и х₂ на рис. 23.), то движе

ние происходит в ограниченной области пространства. Такое движение называют финитным. Если же область движения не ограни

U(x)

Рис. 23. График зависимости потенциальной энергии частицы от координаты и точки заворота осциллятора

чена или ограничена лишь с одной стороны (правее точки С на рис. 23) – движение называют инфинитным, частица уходит на бесконечность.

Одномерное финитное движение является колебательным – частица совершает периодически повторяющееся движение между двумя границами (на рис. 9 в потенциальной яме или АВ между точками х₁ и х₂). Время между ограничивающими финитное движение точками остановки х₁ и х₂ одинаково в прямом и обратном направлении. Поэтому период колебаний Т, т. е. время, за которое частица пройдет от х₁ до х₂ и обратно, равен удвоенному времени прохождения отрезка от х₁ до х₂, т. е.

T(E) = 2 . (99)

Причем приделы интегрирования х₁ и х₂ являются корнями уравнения (94) при данном значении E. Период колебаний частицы является функцией ее энергии. Вид этой функциональной зависимости определяется видом потенциальной энергии U(x).

Рассмотрим случай малых колебаний, которые система совершает в области своего положения устойчивого равновесия. В положении устойчивого равновесия функция U(x) имеет минимум. Условимся координату х и потенциальную энергию U(x) отсчитывать от положения равновесия. Тогда U(0) = 0.

Разложим функцию U(x) в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями х можно будет пренебречь. По формуле Тейлора

U(x) = U(0) + U'(0) · x + U"(0) x² + …. (100)

Ввиду малости х остальными членами пренебрегаем. Они важны в нелинейных процессах.

Так как U(x) при х = 0 имеет минимум, то U'(0) = 0, а вторая производная U"(0) положительна. Кроме того, U(0) = 0. Тогда

U(x) = ;

где введено обозначение

k = U"(0).

Сила, действующая на частицу, в этом случае

F = - = - k x,

и второй закон Ньютона

m = - k x.

Отсюда находим x(t) в виде гармонического колебания, введя обозначение

.

Дата добавления: 2015-07-18