Рекомендации по решению задач

В курсовой работе предусматривается решение задач. Дадим краткие методические указания по теме работы 13.

При гармонических колебаниях движение тела может быть задано одним из выражений

x(t) = A cos (ω₀t + α), x(t) = A sin(ω₀t + β),

x(t) = A₁ cosω₀t + A₂ sinω₀t,

где β = α + π/2, A₁ = A cos α, A₂ = - A sin α, А² = A²₁ + A²₂.

Так как любое из этих выражений легко можно представить в виде двух других, мы будем использовать в дальнейшем какую-нибудь одну форму представления колебаний, например, первую.

Если известен закон движения тела (т.е. амплитуда, циклическая частота и начальная фаза колебаний), то основные характеристики системы, совершающей гармонические колебания, легко найти на основании определений:

Период и частота колебаний связаны с циклической частотой соотношениями (2) и (4).

Смещение тела относительно положения равновесия в произвольный момент времени определяется уравнением движения (1), записанным для этого момента времени.

Скорость тела изменяется со временем по такому же гармоническому закону, что и его координата, но изменение скорости «опережает по фазе» изменение координаты на величину ; т.е. в те моменты времени, когда смещение тела относительно положения равновесия достигает максимальных значений (крайние точки), скорость тела равна нулю, и, наоборот, - в положении равновесия скорость тела максимальна и равна . Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории в сторону движения, а ее величина определяется выражением (7).

Ускорение тела изменяется со временем по такому же закону, что и его координата и скорость, но изменение ускорения «опережает по фазе» изменение координаты на величину π, а скорости на величину ; т.е. в те моменты времени, когда смещение тела относительно положения равновесия максимально, его ускорение также максимально и равно , а в положении равновесия ускорение равно нулю. Следует помнить, что при гармонических колебаниях ускорение тела всегда направлено к положению равновесия (т.е. противоположно смещению) и в произвольный момент времени определяется выражением (10) или (11).

Потенциальная и кинетическая энергии тела в процессе движе ния изменяются по законам (24) и (25), причем таким образом, что когда одна из них увеличивается, другая – уменьшается. Потенциальная энергия имеет максимальное значение

в крайних точках, а кинетическая

- в положении равновесия. Полная энергия при гармонических колебаниях остается постоянной и равной максимальной потенциальной или максимальной кинетической энергии. Средние за период колебаний значения потенциальной и кинетической энергии одинаковы и равны половине полной энергии.

В ряде задач, прежде чем приступить к определению тех или иных характеристик колеблющейся системы, необходимо составить уравнение гармонических колебаний

,

в которое входят три величины – амплитуда A, начальная фаза α и циклическая частота - значения которых требуется определить из условий конкретной задачи.

Для определения частоты колебаний существует несколько способов. Можно:

- привести уравнение движения тела к виду , которое называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний;

- использовать теорему о полной механической энергии и полученное выражение продифференцировать по времени. В результате также получим уравнением гармонических колебаний;

- использовать связь восстанавливающей силы со смещением (14), а циклическую частоту определить через коэффициент возвращающей силы в соответствии с (12).

Для определения частоты гармонических колебаний первым способом можно придерживаться следующей схемы;

а) сделать схематический чертеж, на котором изобразить тело, колебания которого исследуются, в положении равновесия. Мысленно заменить данное тело телом другой массы. Если при этом положение равновесия изменится, то следует записать условие равновесие данного тела. Если же при замене тела положение равновесия останется прежним, то условие равновесия можно не писать;

б) мысленно сместить тело из положения равновесия и отпустить. Представить, по какой траектории будет двигаться тело, предоставленное самому себе, и изобразить на рисунке положение тела в произвольный момент движения (исключая положение равновесия и крайние точки). Изобразить на чертеже все силы, действующие на тело в данный момент движения;

в) ввести удобную систему координат, одну из осей которой (например, ось ОХ) направить вдоль движения в сторону увеличения смещения;

г) записать уравнение движения тела в проекции на выбранную ось в виде = ,

д) записать результирующую силу F_x = с учетом условия равновесия и дополнительных условий задачи (например, условия малости колебаний, которое означает, что смещения тела относительно положения равновесия малы по сравнению с другими размерами системы). При этом два или более слагаемых в должны сократиться, а результирующая сила F_x - приобрести вид F_x = - kx, где k - некоторая положительная постоянная. В этом случае сила F_x будет возвращающей и будет выполнено условие (13), необходимые для наличия гармонических колебаний, а уравнение движения тела примет вид

ma_x + kx = 0, a_x + ω₀² x = 0,

где ω₀ = - циклическая частота колебаний.

Рассмотрим, как можно получить значение частоты ω₀ колебаний, используя теорему о полной механической энергии. Для этого следует:

а) выполнить пункты а - в, записанные для первого способа;

б) если при движении тела меняется его высота относительно поверхности Земли, то следует выбрать нулевой уровень отсчета потенциальной энергии на уровне положения равновесия тела (такой выбор не обязателен, но наиболее удобен);

в) записать теорему о полной механической энергии

Е₂ – Е₁ = А(F_стор) (67)

при перемещении тела из начального положения в положение, соответствующее смещению тела относительно положения равновесия на величину х. Поскольку при определении частоты колебаний мы сами задаем начальные параметры системы (например, начальное смещения из положения равновесия), то начальная энергия будет равна полной энергии колебаний, т.е. Е₁ = const. В произвольный момент движения система будет иметь кинетическую энергию , потенциальную U и полную Е₂= + U. Если при движении тело смещается по вертикали, то его потенциальная энергия в поле тяжести Земли равна ± mgx, где знак «+» соответствует положению тела выше положения равновесия, знак «-» - ниже. Если тело совершает колебания на пружине жесткостью k, то в выражение для U войдет энергия пружины , где х₁ - деформация пружины в начальном положении. Поэтому в общем случае U = ± mgx+ . Если в процессе движения на тело действуют сторонние силы, то следует найти работу этих сил на рассматриваемом перемещении. В рамках школьной программы сторонние силы либо работы не совершают (перпендикулярны направлению движения), либо линейно зависят от величины перемещения (например, при колебаниях на границе раздела “воздух-жидкость” сила Архимеда пропорционально глубине погружения тела в жидкость). В общем случае А(F_стор)= (F_стор,1+ F_стор,2), где F_стор,1 и F_стор,2 - значение сторонних сил в начальном и конечном положениях тела, причем F_стор,2  х;

г) записать теорему о полной механической энергии в виде

mgx+ (68)

и взять производную по времени от левой и правой его частей с учетом, что

, , , .

В результате получим уравнение, которое с учетом условия равновесия примет вид уравнения движения а_х + ω₀² х = 0, где коэффициент ω₀ - циклическая частота колебаний.

Рассмотрим, наконец, третий способ определения частоты колебаний через коэффициент возвращающей силы. Для этого нужно поступить следующим образом:

а) выполнить пункты а - в, записанные для первого способа;

б) спроецировать силы, действующие на тело в произвольный момент движения, на выбранную ось ОХ, и записать выражение для результирующей силы в виде F_x = , в которое со знаком “плюс” войдут проекции сил, направленных от положения равновесия), а со знаком «минус» - проекции сил, которые составляют тупой угол с осью (т.е. направлены к положению равновесия);

в) записать выражение для результирующей силы F_x c учётом условия равновесия;

г) если сила F_x примет вид F_x = - kx, то тело будет совершать гармонические колебания, при которых коэффициент k возвращающей силы связан с циклической частотой выражениями (14) - (15). Если F_x ≠ - kx, то следует учесть дополнительные условия задачи, чтобы привести F_x к требуемому виду;

д) по известному коэффициенту возвращающей силы определить циклическую частоту колебаний.

Все три рассмотренных способа равноправны и приводят к одинаковому результату. Однако второй способ наиболее сложен, поэтому к нему следует прибегать только в крайних случаях.

Если исследуются колебания математического или пружинного маятника, циклическая частота может быть определена через параметры системы (длину нити, жесткость пружины и массу маятника) с помощью формул (15) или (36) соответственно.

Период (и частота) колебаний математического маятника, находящегося в шахте или на горе, зависит от ускорения свободного падения в месте нахождения маятника и может быть определён с помощью формул (38) или (39). Если на математический маятник, кроме силы тяжести и силы натяжения нити, действуют и другие внешние постоянные силы F_k, то циклическая частота (или период) колебаний может быть определена по формуле (44) или (45), где

. Такой внешней силой может быть сила Архимеда (если маятник целиком находится в жидкости), сила Кулона (если маятник имеет заряд и существует внешнее электрическое поле), сила притяжения магнита (если груз маятника представляет собой железный шарик, помещенный вблизи постоянного магнита) и др. Если точка подвеса маятника движется с постоянным ускорением a₀ (например, если маятник установлен на ракете, в лифте и т.п.), то циклическая частота и период колебаний могут быть найдены по тем же формулам (44) и (45), где величина g_эфф определяется выражением (47). Следует помнить, что g_эфф равно модулю геометрической суммы векторов, поэтому в общем случае для его определения нужно применить теорему косинусов.

Частота и период колебаний пружинного маятника, в отличие от математического, не зависят от наличия внешних сил и ускорения точки подвеса и определяются только параметрами системы - жёсткостью пружины и массой маятника.

Выясним теперь, как можно определить амплитуду и начальную фазу колебаний.

Для того чтобы тело пришло в движение, можно: а) сместить его из положения равновесия на величину X₀ и предоставить самому себе; б) сообщить ему некоторую начальную скорость v₀ в направлении возможного движения; в) сделать то и другое, т.е. задать начальное смещение x₀ и сообщить скорость v₀. При этом x₀ и v₀ называют начальными условиями движения.

Если значения x₀ и v₀ известны (заданы или определены из дополнительных условий задачи), то амплитуда A и начальная фаза колебаний могут быть найдены с помощью формул (17). Как следует из (17), если в начальный момент движения тело было смещено из положения равновесия и отпущено без начальной скорости, то начальная фаза колебаний равна нулю, если же x₀ = 0, а v₀ ≠ 0, то начальная фаза . Следует отметить, что соотношения (17) справедливы лишь для маятников, совершающих гармонические колебания по закону косинуса. Если же колебания происходят по закону синуса, то формула для амплитуды не изменится, а начальную фазу следует искать по формуле .

Если найдены циклическая частота колебаний, их амплитуда и начальная фаза, то, записав уравнение колебаний, можно найти любые характеристики системы.

Наконец, могут встретиться задачи, в которых тело, совершающее гармонические колебания, подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. При этом в системе будут наблюдаться вынужденные колебания, амплитуда которых зависит от частоты вынуждающей силы в соответствии с формулой (63). Если затухание в системе мало, то при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте ₀ в системе будет наблюдаться резонанс, при котором амплитуда колебаний достигает максимально возможных значений (64). При решении задач, в которых на тело в процессе колебаний действует какая-либо внешняя периодическая сила, кроме собственной частоты ₀, требуется определить частоту этой силы по условию конкретной задачи. Дальнейшее решение может быть основано на формулах (61) - (65).

Колебания, подчиняющиеся уравнению или в другой записи х¹¹ + ω₀²х = 0, называются малыми. Дело в том, что для пружинного маятника возвращающая сила пропорциональна смещению только в случае малых смещений (закон Гука), а для математического маятника мы предполагаем, что угол отклонения мал, а именно таков, что

sin α ≈ tg α ≈ α. (69)

Однако эти ограничения не умаляют значения и общности анализа. Оказывается, что в случае колебаний тел (физический маятник), когда в уравнении масса заменяется моментом инерции, а сила - моментом силы, подход остается тем же независимо от природы силы. Более того, колебания в электрических цепях, всегда обладающих электроемкостью и индуктивностью, также описываются этим уравнением.

Дата добавления: 2015-07-18