Читайте также: |
|
Поскольку простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции синус и косинус (их период равен 2π), то простейшим одномерным периодическим движением будет такое движение материальной точки, при котором ее координата х изменяется по закону
x(t) = A cos(ω0t + α), x(t) = A sin(ω0t + α1), (1)
где А, ω0, α, α1 – некоторые постоянные величины.
Такое периодическое движение называется гармоническим колебательным движением, а частица (материальная точка), совершающая гармонические колебания, - гармоническим осциллятором. Термины «маятник», «осциллятор», «колебательная система» будем считать тождественными.
Величины А и ω0 имеют простой физический смысл. Так как период косинуса и синуса равен 2π, то период движения Т (период колебаний) связан с ω0 соотношением
T = 2π/ω0. (2)
Это соотношение легко получить из условия, что частица в моменты времени t и (t + T) имеет одинаковые координаты
х (t) = (t + T). (3)
Из (3) и (1) вытекает, что
ω0 = 2π/T = 2π ν. (4)
Величину ω0 называют циклической (круговой) частотой. Единица измерения циклической частоты - радиан в секунду (рад/c), ν – частота колебания, измеряемая в герцах (Гц).
Максимальное значение координаты х называется амплитудой колебания. Так как максимальное значение косинуса и синуса любого переменного аргумента равно единице, то максимальное значение координаты х при гармонических колебаниях равно А (рис. 1)
Аргумент косинуса или синуса в (1)
φ (t) = ω0t + α (5)
называют фазой колебаний. Из (5) следует, что при t = 0
α = φ, (6)
поэтому постоянную величину α называют начальной фазой.
Из (1) (мы будем везде в дальнейшем преимущественно использовать первую формулу для х(t)). Легко найти скорость частицы, совершающей гармонические колебания. Взяв производную по времени от первого выражения из (1), получим
vx = dx/dt = -A ω0 sin (ω0t + α) = A ω0 cos(ω0t + α + π/2). (7)
Как видим, при гармонических колебаниях скорость частицы изменяется также по гармоническому закону, но изменение скорости ”опережает по фазе ” изменение координаты на величину 1/2 π. Иначе говоря, разность фаз колебаний скорости и координаты равна 1/2 π. При этом в те моменты времени, когда координата x достигает экстремальных значений ± А, скорость частицы обращается в нуль, и наоборот. Максимальное по модулю значение скорости (ее амплитуда) равно
vmax = A ω0. (8)
Выясним, какова должна быть результирующая сила Fx = действующая на частицу, чтобы она совершала гармонические колебания. Найдем для этого ускорение частицы при таком движении. Продифференцировав (7) по времени, получим
ax = = - A ω2 0 cos(ω0t + α), (9)
или с учетом фазы относительно (1)
ax = - ω0 2x = A ω2 0 cos(ω0t + α + π). (10)
Если учесть второе выражение в (1), то получим результаты, представленные в табл. 1.
Таблица 1
Описание кинематических характеристик колебаний
1. x(t) = A sin (ω t + φ) 1. 2. v = x'(t) = ω A cos(ω t + φ) 2. 3. a = v'(t) = - ω2 A sin (ω t +φ) | 1. x(t) =A cos(ω t + φ) 2. v = x'(t) = - ω A sin(ω t + φ) 3. a = v'(t) = - ω2 A cos(ωt + φ) |
φ = 0 | |
4. x(t) = A sin ∙ ω t 5. v = ω A cos ω t = ω A sin (ω t + ) = ω A(sin ω t · cos + cos ω t · sin ) = ω A cos ω t 6. a = - ω2 A sin ω t = ω2 A sin(ω t + π) | 4. x(t) = A cos ω t 5. v = - ω A sin ω t = ω A· cos(ω t + ) = ω A(cos ω t · cos -sin ω t · sin ) = - ω A× ×sin ω t 6. a = - ω2 A cos ω t = ω2 A × cos (ω t + π) |
7. tg φ = ; A2 = | 7. tg φ = - ; A2 = |
8. A cos ω t + B sin ω t = cos(ω t – δ) | |
cos δ = | sin δ = |
9. A cos ω t + B sin ω t = sin(ω t + δ) | |
sin δ = | cos δ = |
Из (10) видно, что ускорение изменяется со временем по такому же закону, что и координата частицы, но фаза колебаний ускорения отличается от фазы координаты на π. Наибольшее по модулю значение ускорения (его амплитуда)
amax = A ω02. (11)
Из второго закона Ньютона для движения частицы массой m
m = = ,
записанного в проекции на направление движения частицы с учетом (10) получим
maх = Fx, Fx = -m ω0 2x. (12)
Таким образом, для того чтобы частица совершала гармонические колебания, действующая на нее результирующая сила должна быть пропорциональна величине смещения частицы и направлена в сторону, противоположную этому смещению. Такую силу называют восстанавливающей (или возвращающей).
Зависимость силы от положения частицы в виде (12) встречается в физических задачах очень часто. Если какое-либо тело находится в положении устойчивого равновесия (пусть это будет точка x = 0), то в этом положении = = 0, а при этом смещении тела из этого положения в ту или другую сторону возникает отличная от нуля результирующая сила , действующая на тело и стремящаяся вернуть его в положение равновесия. При этом график зависимости Fx (x) будет иметь вид некоторой кривой: в точке x = 0 сила Fx = 0, а по обе стороны от этой точки она имеет противоположные знаки (рис. 2).
В общем случае зависимость возвращающей силы от x не является линейной. Это означает, что хотя тело и будет совершать колебания около положения равновесия, но колебания не будут гармоническими. Однако при небольших смещениях тела из положения равновесия отрезок кривой Fx вблизи x = 0 можно всегда приближенно заменить отрезком прямой линии так, что сила Fx окажется пропорциональной величине отклонения x, и колебания тела будут гармоническими. Частота этих колебаний определяется жесткостью закрепления тела, характеризующей связь между силой и смещением. Если сила связана со смещением по линейному закону
Fx = - kx (13)
(где k – некоторый коэффициент, определяемый свойствами рассматриваемой системы, называемый коэффициентом восстанавливающей (возвращающей) силы), то из сравнения (13) с выражением для силы при гармонических колебаниях (12) следует, что
k = m ω20 (14)
и циклическая частота гармонических колебаний
ω0 = , (15)
а период колебаний T = = 2π . (16)
Как видим, частота и период колебаний зависят только от свойств системы (жесткости закрепления тела около положения
Рис.1. Простое гармоническое колебание. А – амплитуда, Т - период
Рис.2. Один из вариантов нелинейной зависимости силы от смещения
U(0) = 0 x
Рис.3. Смещение, возвращающая сила и начало отсчета потенциальной энергии
равновесия и от его массы), но не от амплитуды колебаний. Одно и то же тело, производя колебания с разной амплитудой, совершает их с одинаковой чистотой. Это очень важное свойство гармонических колебаний. Напротив, амплитуда колебаний А и начальная фаза α определяются не только свойствами колеблющейся системы, но и начальными условиями ее движения, т.е. начальным смещением из положения равновесия x0 = х(t = 0) и скоростью υ0= υ(t = 0). Из (1) и (7), получим
(17)
Решив систему уравнений (17) относительно А и α, находим
A = , α = - arctg . (18)
Заметим, что однозначное определение угла α (определение четверти, в которой он находится) производится с учетом (17)
Если систему каким-либо образом заставили совершать колебания (например, сместив из положения равновесия на х0 или сообщив начальную скорость v0) и предоставили самой себе, то возникающие колебания называют собственными колебаниями, а частоту колебаний – собственной частотой.
Используя выражение для возвращающей силы (13), нетрудно найти потенциальную энергию колеблющейся частицы. Будем считать, что потенциальная энергия U (x) равна нулю в положении равновесия x = 0 (нулевой уровень потенциальной энергии (рис. 3)). По определению потенциальной энергии она равна работе силы F (x) при перемещении частицы из смещенного положения x на нулевой уровень
Ux = A (F) (19)
Поскольку сила F (x) направлена к положению равновесия и линейно зависит от x, то ее работа при таком смещении будет положительной и равной
A = <F> (x – 0) = x = . (20)
Следовательно, потенциальная энергия гармонического осциллятора
U = , (21)
или, учитывая (15)
U = . (22)
Кинетическая энергия осциллятора
T = (23)
Подставив (2) и (3) в (23) и (24), получим
U = cos2 (ω0 t + α) = (1 + cos 2(ω0 t + α)) (24)
T = sin2 (ω0 t + α) = (1 - cos 2(ω0 t + α)) (25)
т.е. и потенциальная, и кинетическая энергии частицы в процессе колебания изменяются со временем, причем таким образом, что когда одна из них увеличивается, другая – уменьшается. Колебания энергий происходят с удвоенной частотой колебаний осциллятора. Полная же энергия гармонического осциллятора
E = T + U = = const (26)
остается все время постоянной и равной максимальной кинетической энергии
Tmax = (27)
или, что то же самое, максимальной потенциальной энергии
Umax = (28)
Другими словами, процесс колебаний связан с периодическим переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно. Средние же (за период колебаний) значения потенциальной и кинетической энергий одинаковы и каждое из них равно 0,5E:
< T > = < U > = 0,5E. (29)
Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 115 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Исходные положения. Теория и типовые задачи в пояснительной записке | | | Математический маятник |