Колебания в электрических цепях

Колебания в электрических цепях, содержащих электроемкость С и индуктивность L,описываются теми же дифференциальными уравнениями, что и механические колебания. Рассмотрим следующую задачу.

Задача 3.

Электрическая цепь составлена из катушки индуктивностью L и двух конденсаторов емкостью С₁ и С₂ (см. рис. 8). Один из конденсаторов подключен к половине катушки. В начальный момент времени ток через катушку отсутствует, напряжение на конденсаторе С₁ равно U₀. Конденсатор С₂ не заряжен. Найти зависимость напряжения на конденсаторе С₂ от времени после замыкания ключа К. Принять С₁ = С₂ = С.

Решение.

Будем считать, что магнитный поток через любой виток ка

Рис. 8. Схема соединений до замыкания ключа и после.

тушки один и тот же (рассеяния магнитного потока нет). По этой причине напряжение U₂ на конденсаторе С₂ в любой момент времени в два раза больше напряжения U₁ на конденсаторе С₁: U₂ = 2 U₁. В начальный момент, сразу после замыкания ключа, заряды на конденсаторах перераспределяются так, чтобы удовлетворить закону сохранения заряда и отмеченному соотношению между напряжениями. Пусть U₂₁ и U₁₁ – новые напряжения на втором и первом конденсаторах соответственно. Тогда

CU₀ = CU₁₁+ CU₂₁ = CU₁₁+ 2CU₁₁ = 3CU₁₁

Отсюда U₁₁ = U₀, U₂₁ = U₀.

Поскольку ток через конденсатор С₂ равен I_c2 = = , а ток через конденсатор С₁ равен I_c1 = , то

I_c2 = I = 2 I_c1 = 2 I_c.

Суммарный магнитный поток Ф через все витки равен сумме потоков Ф₁ и Ф₂ через витки левой и правой частей катушки соответственно:

Ф = Ф₁ + Ф₂ = I + (I + I_c) = (2I + I_c) = LI.

Учитывая, что

- U₂,

Получаем

U₂.

Это дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания с частотой ω₀ = . В начальный момент времен t = 0

U₂ = U₀. Поэтому окончательно напряжение на конденсаторе С₂ изменяется со временем по закону

U₂ = U₀ cos ω₀t.

Таким образом, рассматриваемая система эквивалентна стандартному колебательному контуру с той же индуктивностью L, но с емкостью, равной С. Напряжение на катушке эквивалентного контура в начальный момент равно U₀.

Дата добавления: 2015-07-18