Задача 9.

Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси, перпендикулярной к направлению внешнего магнитного поля. При изменении индукции этого поля период колебаний стрелки уменьшился в η = 5,0 раз. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затуханием пренебречь.

Решение.

Магнитная стрелка является магнитным диполем точно так же, как замкнутый виток (рамка, контур) в котором ток поддерживается постоянным. Мы можем это утверждать на основании совпадения картин силовых линий (в общих чертах). Поэтому данную ситуацию можно рассматривать как более общую задачу о колебаниях магнитного диполя (витка произвольной формы), при условии, что явлением электромагнитной индукции мы пренебрегаем. Мы также пренебрежем трением в опоре и потерями на перемагничивание стрелки.

Будем считать, что ось вращения проходит через центр масс стрелки и применим уравнение моментов:

J_c φ" = - M;

где J_c – момент инерции стрелки относительно указанной оси, М – момент возвращающих сил. Как показано в т. 2, § 46, с. 136, момент возвращающих сил, действующих на магнитный момент величины р_m во внешнем магнитном поле с индукцией В по величине равен

М = р_mВ sin φ.

Поэтому для малых колебаний имеем

φ" + φ = 0,

откуда

ω₀² = .

Далее переходим к периоду колебаний в первом и во втором случае:

Т₀ = 2π ; Т₀₁ = 2π .

Отсюда Т₀₁ = . Если период колебаний уменьшился в η раз, то индукция поля возросла в η² раз.

Отметим, что колебания совершаются около положения устойчивого равновесия, соответствующего параллельному расположению векторов и .

Задача 10. Катушка индуктивности L соединяет верхние концы двух вертикальных медных шин, отстоящих друг от друга на расстояние a. Вдоль шин падает без начальной скорости горизонтальный проводник-перемычка массой m (без нарушения контакта с шинами). Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярным к плоскости шин (рис. 14). Найти закон движения проводника х(t). Сопротивление всех проводников пренебрежимо мало.

Решение.

При движении перемычки вниз со скоростью v магнитный поток Ф пронизывающий контур ABCD равномерно нарастает. По закону электромагнитной индукции в нем возбуждается индукционный ток, магнитное поле которого препятствует нарастанию магнитного потока внешнего поля с индукцией В. Этот ток i взаимодействует с полем В и тормозит перемычку AD. Э.Д.С. индукции

Ɛ_и = - = - (BS) = - (Bax),

Рис. 14. Электрическая цепь с перемычкой в однородном магнитном поле

здесь B и a – постоянные величины, а = v – скорость перемычки.

Поскольку сопротивление отсутствует, то точно такое же напряжение возникает на катушке индуктивности:

Ɛ_L = - L = - Ba .

После интегрирования получаем

i = (Ba/L) (x₀ -x),

x₀ – начальная координата перемычки.

Сила Ампера, действующая на перемычку

F_A = iaB = (x₀ -x).

Уравнение движения перемычки

mx" = mg + F_A.

После приведения к стандартному виду имеем

x" = g + (x₀ -x).

Введем обозначение ω₀² = . Тогда

x" + ω₀² х = g + ω₀² x₀

Это уравнение колебаний осциллятора находящегося под воздействием внешней постоянной силы. Его решение запишется в виде гармонических колебаний около смещенного положения равновесия

x(t) = (x₀ + ) + A cos ω₀t (55)

в чем убеждаемся простой подстановкой. Функция косинус выбрана в соответствии с тем, чтобы удовлетворить начальному условию для скорости перемычки v(0) = 0. В начальный момент положение перемычки определяется координатой х₀. Подставим это условие в решение х(t) и получим уравнение для определения амплитуды А:

А = - . Поскольку в начальный момент при t = 0 сила тока в цепи равна нулю, то следует положить x₀ = 0. Окончательно имеем

x(t) = - cos ω₀t.

Дата добавления: 2015-07-18