Фазовые траектории

Характер движения материальной точки определяется вторым законом Ньютона, т.е. дифференциальным уравнением 2-го порядка, и начальными значениями координат и скорости (всего 6 величин в самом общем случае). Большинство задач на движение можно свести к движению вдоль одной прямой (например, взяв проекции соответствующих векторов), положим, вдоль оси х. Любое движение осциллятора, при котором меняется одна единственная физическая величина, для которой записано дифференциальное уравнение движения, есть одномерное движение.

Введем ортогональную систему координат x и v(x). Плоскость, заданную этими координатами назовём фазовой. С течением времени материальная точка в своем движении по фазовой плоскости очерчивает фазовую траекторию v(x). Значения x и v в заданный момент времени определяют изображающую точку. Изображающие точки с координатами f(x, v) = 0 и v= 0 называются особыми точками. Особым точкам соответствуют состояния равновесия системы.

Рассмотрим простой осциллятор и установим основные свойства фазовых плоскостей и фазовых траекторий на его примере. Смещение осциллятора задаётся в виде

x(t) = А cos(ω₀ t + α),

Скорость осциллятора найдена дифференцированием x(t)

v_x(t) = dx/dt = -A ω₀ sin (ω₀t + α)

Исключим время из выражений x(t) и v_x(t). Для этого выразим cos x и sin x, возведем в квадрат и сложим. Получим

(109)

Это соотношение дает зависимость v(х) и задает фазовую траекторию движения простого незатухающего гармонического осциллятора. В координатах v,х это эллипс. Для колебаний с различными амплитудами мы получаем семейство подобных эллипсов, поскольку отношение их полуосей эллипса А/A ω₀ не зависит от амплитуды А, а определяется постоянным параметром ω₀.

2.1.18 а. Свойства фазовых траекторий

1. Семейство фазовых траекторий, отличающихся начальными условиями, т.е. значениями х₀,, v₀, являются не двух-, а однопараметрическим, т.к. определяет не х и v поразнь, а их комбинацию, образующую полную энергию Е осциллятора (А = 1)

Е = (v² + х²). (110)

2. Фазовые траектории между собой не пересекаются, т.к. уравнение движения имеет однозначное решение при заданных начальных условиях. Как мы установили, рассматриваемые эллипсы подобны.

3. Назовем точку, взятую на фазовой траектории, изображающей. Отметим, что движение изображающей точки по фазовой траектории происходит по часовой стрелке, поскольку если ее скорость в некоторой точке положительна, то координата х должна возрастать.

4. Установим, что движение изображающей точки М (х, v) происходит вдоль фазовой траектории с постоянной секторной скоростью. Понятие секторной (секториальной) скорости (рис. 25) введено в § 49 (т.1) / 1/. Определим ее в векторном виде по правилу

Здесь - радиус-вектор движущейся точки, - его приращение за время dt (см. рис. 25). Из этого рисунка видно, что векторное произведение есть площадь dS треугольника, образованного векторами и , т.к. dS = sin , где θ – угол между векторами и .

Рис. 25. К определению секторной скорости

Итак, , где - площадь сектора, заметаемого радиусом-вектором точки, движущейся по заданной фазовой траектории.

Окончательно,

. (111)

Представим радиус – вектор изображающей точки в координатах v,х в виде = х + v , где и - орты (единичные векторы) по осям х и v соответственно. Тогда ¹(t) = х¹ + v¹ = v + v¹ . Подставим и ¹ в (111). Получим

. (112)

Если х изменяется по гармоническому закону x = А cos(ω₀ t + α), v_x = -A ω₀ sin (ω₀t + α), v¹ _x = d² x/dt = -A ω²₀ cos (ω₀t + α), то после подстановки в (112) будем иметь

. Выражение в скобках есть ни что иное, как полная механическая энергия материальной точки (110).

Таким образом, секторная скорость изображающей точки на фазовой плоскости есть величина постоянная и равная полной механической энергии осциллятора.

2.1.18 б. Фазовые траектории затухающих колебаний и релаксаций

Рассмотрим затухающее колебание, описываемое дифференциальным уравнением

х¹¹ + 2βх¹ + ω₀²х = 0.

Полагая , находим = - 2 βy - ω₀²х. Введем новые переменные

u = ω₀₁x, v = y +βx, ω²₀₁ = ω₀² – β²,

и будем считать, что u и v – прямоугольные координаты.

Тогда из ω²₀₁ = ω₀² – β² получим

y² + 2 βxy + ω₀²х = (y +βx)²+ ω²₀₁x² = u²+v²,

и, следовательно,

u²+v² = С ,

(113)

или, переходя к полярным координатам, получим

ρ² = С , или ρ = С . (114)

Мы получили уравнение спирали, навивающейся на начало координат.

Если теперь перейти к исходным координатам у',х, т.е. v,x, то в силу линейности преобразования u = ω₀₁x, v = y +βx, интегральные кривые качественно не изменятся и будут также представлять собой спирали (рис. 26). Спирали закручиваются при затухающих колебаниях и разворачиваются при нарастающих.

Фазовые траектории затухающих колебаний, релаксаций и биений представлены на рис. 26 – 28.

Понятия фазовой плоскости и фазовой траектории особенно эффективны при анализе решений нелинейного дифференциального уравнения вида

. (115)

Это уравнение выражает второй закон Ньютона для точки, на которую действует возвращающая сила сложного вида и силы сопротивления, сложным образом зависящие от скорости . Уравнение (115) может быть сведено к системе двух дифференциальных уравнений

= у, = f (x,y) (116)

Решением этой системы является пара функций x(t), y(t), задающих в параметрическом виде фазовую траекторию. Параметр t - это, ко-

нечно, время. Характерной особенностью системы (116) является то, что в нее время явно не входит.

а б

Рис.26. Фазовые траектории затухающих колебаний в коор-

динатах u, v и х¢, х

.

Рис. 27. Фазовая траектория релаксационных движений

Рис. 28. Фазовая траектория биений

Если окажется, что в некоторой точке M(x₀, y₀) фазовой плоскости выполняются равенства

y = 0, f(x,y) = 0,(117)

то фазовая траектория вырождается в точку. Такие точки называются особенными. Смысл соотношений (117) состоит в том, что в особой точке скорость и ускорение частицы одновременно равно нулю. Это означает, что материальная точка находится в состоянии покоя или равновесия. Состояние равновесия физической системы, описываемой уравнением (116), это особое состояние и поэтому изучение типов особых точек чрезвычайно важно.

При анализе движения на фазовой плоскости стремятся установить:

1) наличие особых точек;

2) различия в расположение фазовых траекторий вблизи особых точек;

3) устойчивость и неустойчивость особых точек, т.е. остается ли с течением времени материальная точка вблизи особой точки фазовой траектории или удаляется от нее;

4) наличие замкнутых траекторий, которые, как и в случае простого гармонического осциллятора, соответствуют периодическому движению.

Обычно ответа на эти вопросы достаточно, чтобы качественно понять характер решения х(t) уравнения (116), не находя аналитического выражения х(t), которое зачастую найти невозможно.

Дата добавления: 2015-07-18