Величины «масса» и «время», рассматриваемые в начальном курсе математики

В начальном курсе математики рассматриваются пять основных величин: длина, площадь, объем (емкость), масса и время. В предыдущих параграфах были рассмотрены величины «длина», «площадь», «объем». Напомним некоторые сведения о «массе» и «времени».

Масса. Понятие массы тела тесно связано с понятием веса – силы, с которой тело притягивается Землей. Вес зависит не только от самого тела, но и от географической широты. При измерении веса тела путем сравнения его с весом другого выявляется новое свойство тел, которое называется массой. Масса тела не изменяется, т.е. она одна и та же, где бы тело не находилось. Основная единица массы – килограмм.

Время. В обыденной жизни время – это то, что отделяет одно событие от другого. В математике время рассматривают как скалярную величину, потому что промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойства длины, площади, массы.

Промежутки времени можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать на положительное действительное число. Промежутки времени измеряют. В Международной системе единиц основной единицей измерения времени названа секунда. Еще единицами измерения времени являются: минута, час, сутки, неделя, месяц, год, век. Заметим, что час, минута, секунда – придуманы человеком, год и сутки – взяты из природы.

Год равен, приблизительно, 365 суток, поэтому условились, что годсоставляет 365 суток (невисокосный) и каждый четвёртый год–366 суток (високосный).

Неделя (день недельный – когда нет дел) составляет 7 суток. День отдыха – воскресенье – восстановление, (воскресение, оживление) сил.

Месяц связан с движением Луны вокруг Земли. Один оборот совершается приблизительно за 29,5 суток. За год совершается 12 оборотов (поэтому в году 12 месяцев, «лун»).

По юлианскому календарю високосными были все годы, число которых делилось на 4. Из григорианского календаря исключались те, которые были вековыми и не делились на 400. Например, 1600 – високосный год, 1700 – невисокосный, 2000 – високосный, 2100, 2200, 2300 – невисокосные.

Зависимости между величинами многообразны. Мы будем говорить в основном о тех, с которыми встречаются учащиеся в начальных классах на уроках математики.

Рассмотрим величины, связанные с равномерным прямолинейным движением: время, скорость и расстояние: t, v, S. Известно, что S = vt.

Аналогичные зависимости существуют и между другими величинами, рассматриваемыми в начальных классах. Например, такими как:

а) стоимость товара, его количество и цена;

б) объем работы, время работы и производительность труда;

в) количество материала, количество изделий и расход на одно изделие.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Известно, что , , .

Найти .

2. Известно, что , , , . Найти .

3. Как разрезать прямоугольник на два такие треугольника, из которых можно было бы составить: а) параллелограмм, б) треугольник?

4. Как разрезать параллелограмм на такие две фигуры, из которых можно было бы составить прямоугольник?

5. Как разрезать треугольник:

а) на такие две фигуры, из которых можно было бы составить параллелограмм;

б) на такие три фигуры, из которых можно было бы составить прямоугольник?

6. Используя понятия «равносоставленность» и «равновеликость», вывести формулы для нахождения площади треугольника, трапеции, ромба.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андронов И.К., Окунев А.К. Арифметика рациональных чисел. – М.: Просвещение, 1971. – 211 с.

2. Брадис В.М. Теоретическая арифметика. – М.: Учпедиздат, 1954. – 208 с.

3. Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. – М.: Просвещение, 1976. – 47 с.

4. Добротворский А.С., Ковригина Л.П., Мерзон А.Е., Чекин А.Л. Задачник-практикум по математике. – Вып. II. – М.: МГПИ, 1985. – 83 с.

5. Канбекова Р.В. Основы начального курса математики: Учеб. пособие. – Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. ин-т, 1997. – 238 с.

6. Лаврова Н.Н., Стойлова Л.П. Задачник-практикум по математике. – М.: Просвещение, 1985. – 181 с.

7. Лихолетов И.И. Функции и их графики. – Минск: Народная асвета, 1970. – 149 с.

8. Математика / Архипов Б.М., Катасонова А.М., Коробенок Е.В. и др. – Минск: Вышэйш. школа, 1976. – 269 с.

9. Математика / Н.Я. Виленкин, А.М. Пышкало, В.Б. Рождественская, Л.П. Стойлова. – М.: Просвещение, 1977. – 350 с.

10. Мерзон А.Е., Добротворский А.С., Чекин А.Л. Пособие по математике для студентов факультетов начальных классов. – М.: Изд-во «Институт практической психологии», Воронеж: Изд-во НПО «МОДЭК», 1998. – 448 с.

11. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. средней школы. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1991. – 384 с.: ил.

12. Стойлова Л.П. Математика: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений. – 3-е изд., испр. – М.: Издат. центр «Академия», 1998. – 464 с.

13. Стойлова Л.П., Виленкин Н.Я. Целые неотрицательные числа: Учеб. пособие по математике для студентов-заочников II-III курсов фак. подгот. учителей нач. классов. – М.: Просвещение, 1986. – 79 с.

14. Стойлова Л.П., Виленкин Н.Я., Лаврова Н.Н. Математика. – Ч. 1. – М.: Просвещение, 1989. – 175 с..

15. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики. – М: Просвещение, 1988. – 317 с.

16. Столяр А.А., Лельчук М.П. Математика: Для студентов I курса факультетов подготовки учителей начальных классов педагогических вузов. – Минск: Вышэйш. школа, 1975. – 272 с.

17. Теоретические основы начального курса математики / А.М. Пышкало, Л.П. Стойлова, Н.П. Ирошников, Д.Н. Зельцер. – М.: Просвещение, 1974. – 367 с.

Приложение 1

ЛАТИНСКИЙ АЛФАВИТ

Aa Bb Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Jj Kk Ll Mm

– – – – – – – – – – – – –

а бэ цэ дэ е эф ге (же) ха (аш) и йот (жи) ка эль эм

Nn Oo Pp Qq Rr Ss Tt Uu Vv Ww Xx Yy Zz

– – – – – – – – – – – – –

эн о пэ ку эр эс тэ у вэ дубль-вэ икс игрек зэт

ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ

Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ

– – – – – – – – – – – –

альфа бэта гамма дельта эпсилон дзэта эта тэта иота каппа ламбда мю

ΝνΞξ Οο Ππ Ρρ Σσ Ττ Φj Χχ Υυ Ψψ Wω

– – – – – – – – – – – –

ню кси омикрон пи ро сигма тау фи хи ипсилон пси омега

Приложение 2

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ

А

АДДИТИВНОСТЬ 1. В широком смысле – характеристика математических объектов, в определении которых существенную роль играет сложение. 2. Свойство функции множества, заключающееся в том, что значение функции от суммы непересекающихся множеств равно сумме значений функции от слагаемых.

АКСИОМА. Исходное положение, принимаемое без доказательств при дедуктивном построении теории.

АКСИОМАТИКА. Система аксиом вместе с основными объектами и основными отношениями между ними, а также правила вывода основных положений теории.

АЛГЕБРА. Часть математики, изучающая алгебраические операции над объектами произвольной природы.

АЛГОРИТМ. Точное формальное предписание, однозначно определяющее содержание и последовательность операций, переводящих заданную совокупность исходных данных в искомый результат.

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА. Метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел или двух многочленов, а также общей меры двух отрезков.

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ. Составление алгоритма.

АНАЛОГИЯ. Сходство определенных свойств или признаков объектов.

АНТИКОММУТАТИВНОСТЬ. Свойство операции умножение: при всех х и у имеет место равенство ху = – ух.

АНТИРЕФЛЕКСИВНОСТЬ. Свойство бинарного отношения в множестве А, заключающееся в том, что отношение R антирефлексивно, если не найдется ни одного такого элемента х Î А, для которого существует xRx.

АНТИСИММЕТРИЧНОСТЬ. Бинарное отношение R такое, что не существуют такие два элемента х ¹ у, для которых имеет место xRy и yRx.

АПОФЕМА. 1. Длина перпендикуляра, опущенного из центра окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, на любую из его сторон. 2. Высота боковой грани правильной пирамиды.

АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ. Независимая переменная, от значений которой зависят значения функции.

АРИФМЕТИКА. Часть математики, изучающая числа и простейшие действия над ними.

АСИММЕТРИЯ. Отсутствие симметрии.

АСИМПТОТА. Такая прямая, что расстояние от точки данной кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки от бесконечной ветви прямой.

АССОЦИАТИВНОСТЬ. Свойство бинарной операции, выражаемое равенством (a * b) * c = а * (b * c); сложением и умножение чисел ассоциативны: (a + b) + c = а + (b + c), (ab) c = а (bc); вычитание и деление чисел неассоциативны.

Б

БЕСКОНЕЧНОСТЬ. Термин, применяемый в различных разделах математики в форме противопоставления термину конечное.

БЛИЗНЕЦЫ. Два простых числа, разность которых равна двум.

БЛОК-СХЕМА. Графическое изображение хода выполнения программы вычислений или хода работы.

БОЛЬШЕ. Отношение порядка, определяющее строгую упорядоченность множества. Обозначается знаком >.

БОЛЬШЕ ИЛИ РАВНО. Отношение порядка, определяющее нестрогую упорядоченность множества. Обозначается знаком ³.

БУКВА. Элементарный знак в какой-либо символике.

БУЛЕАН. Совокупность всех подмножеств рассматриваемого множества.

В

ВАРИАНТ. Видоизменение, разновидность, одна из возможных комбинаций.

ВЕРОЯТНОСТЬ. Число, заключенное между нулем и единицей, характеризующее меру возможности наступления случайного события в результате испытаний при заданной совокупности условий.

ВЕРШИНА графа. Элемент основного множества графа.

ВЕРШИНА конуса. Точка пересечения образующих конуса.

ВЕРШИНА многогранника. Точка, в которой сходятся соседние ребра многогранника.

ВЕРШИНА многоугольника. Точка, в которой сходятся две соседние стороны многоугольника.

ВЕРШИНА угла. Точка, в которой сходятся стороны угла или образующие конической поверхности телесного угла; двугранный угол не имеет вершины.

ВКЛЮЧЕНИЕ множеств. Отношение между двумя множествами А и В, характеризующее следующий факт, если из х Î А следует, что х Î В, то В включает в себя А; обозначается А Ì В или В É А.

ВОСЬМИГРАННИК. Многогранник, имеющий восемь граней.

ВОСЬМИУГОЛЬНИК. Плоский многоугольник, имеющий восемь вершин.

ВРАЩЕНИЕ. Движение, при котором по крайней мере одна, точка пространства остается неподвижной.

ВЫРАЖЕНИЕ. Формула или ее часть.

ВЫСКАЗЫВАНИЕ. Предложение, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности.

ВЫСОТА. 1. Отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на основание или на продолжение основания фигуры, например треугольника. 2. Длина этого отрезка. 3. Наибольший из отрезков перпендикуляров, опущенных из граничных точек выпуклой фигуры на прямую или плоскость, содержащую основание.

ВЫЧИСЛЕНИЕ. Получение численного результата некоторым алгоритмом из исходных данных.

ВЫЧИТАЕМОЕ. Число, которое вычитается из данного; термин употребляется в арифметике.

ВЫЧИТАНИЕ. Операция, обратная операции сложения, позволяющая по сумме и одному из слагаемых находить другое слагаемое, если a + b = c, то a = c – b и b = c – a.

Г

ГЕКСАЭДР. Шестигранник.

ГЕОМЕТРИЯ. Часть математики, изучающая пространственные отношения и формы тел, а также их обобщения.

ГИПЕРБОЛА. Плоская кривая 2-го порядка, получающаяся при пересечении кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину и параллельной двум его образующим; каноническая форма уравнения гиперболы в прямоугольных декартовых координатах (x / а)² – (у / b)² = 1, где а – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.

ГИПОТЕЗА. Научное предположение, выдвигаемое для объяснения какого-либо явления и требующее проверки на опыте и/или теоретического обоснования.

ГИПОТЕНУЗА. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.

ГИСТОГРАММА. Графическое представление экспериментальных данных, при котором на оси абсцисс отмечаются (обычно через равные промежутки) точки, соответствующие значениям измеряемой величины х ₁, х ₂, …, х_{k +1} и на интервалах [ x ₁, x ₂), [ x ₂, x ₃), …,
[ x _k, x_{k +1}] параллельно оси ординат строятся прямоугольник с площадями, пропорциональными числу наблюдений, в которых измеряемая величина попадала в соответствующий интервал.

ГОМОТЕТИЯ. Преобразование евклидова пространства относительно точки О (центра гомотетии), ставящее в соответствие любой точке М точку на прямой ОМ по правилу , где – постоянная величина; гомотетия – частный случай подобия.

ГРАНЬ многогранника. Плоский многоугольник, являющийся частью поверхности многогранника и ограниченный ребрами.

ГРАФ. Множество V вершин и набор Е неупорядоченных и упорядоченных пар вершин (ребра и дуги); обознается .

ГРАФИК. Множество точек координатной плоскости с координатами (х, f (x)), где f (x) – данная функция.

ГРУППА. Множество с одной ассоциативной бинарной операцией, в котором имеется единица е и для каждого элемента а имеется обратный элемент х, обладающий свойством ах = ха = е.

Д

ДЕДУКЦИЯ. Общее название логических методов, позволяющих выводить новое утверждение из некоторых исходных утверждений. При этом, на основании общих знаний делается вывод для конкретного частного случая.

ДЕЙСТВИЕ. см. алгебраическое ДЕЙСТВИЕ.

алгебраическое Д. Одна из семи операций, а именно сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование.

арифметическое Д. Одна из четырех простейших операций над числами, а именно: сложение, вычитание, умножение, деление.

ДЕЛЕНИЕ. Действие, обратное умножению, позволяющее находить по данному произведению и одному из множителей другой множитель; обозначается обычно знаком (:); так, если a · b = c и b ¹ 0, то a = c: b; иногда знаками деления становятся косая или горизонтальная черта.

ДЕЛЕНИЕ с остатком. Нахождение по двум заданным целым числам а и b, b ¹ 0 неполного частного q и остатка r так, чтобы было
а = bq + r, где 0 £ r < b, q и r – целые.

ДЕЛИМОЕ. Число, которое делят на другое число.

ДЕЛИМОСТЬ. Свойство целого числа делиться без остатка на заданное целое; аналогично определяется делимость многочленов.

ДЕЛИТЕЛЬ. 1.Число, на которое делят другое число. 2. Целое число, на которое данное целое число делится без остатка.

ДЛИНА. Числовая характеристика протяженности линии в метрическом пространстве; для отрезка прямой совпадает с расстоянием между его концами.

ДОДЕКАЭДР. Правильный многогранник с 12 пятиугольными гранями, 30 ребрами и 20 вершинами, в каждой из которых сходятся три ребра.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Способ обоснования истинности того или иного суждения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО от противного. Метод доказательства, при котором из отрицания доказываемого суждения выводится противоречие; основано на законе исключенного третьего, поэтому отвергается в конструктивной математике.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО по индукции. Доказательство истинности утверждения A (n), зависящего от натурального параметра n, слагающееся из двух этапов: а) доказательства истинности А(1); б) доказательство истинности .

ДОПОЛНЕНИЕ подмножества А до множества М. Множество всех элементов из М, не входящих в А; обозначается .

ДРОБЬ. Число, состоящее из одной или нескольких равных долей единицы.

Бесконечная десятичная дробь. Запись числа в виде десятичной дроби, у которой ни один знак не является последним, например, , .

Десятичная дробь. Дробь, знаменатель которой является степенью числа десять и которая записывается в одну строку, например, 0,75 или 15,5.

Неправильная дробь. Дробь, числитель которой больше знаменателя, например, 17/3.

Периодическая дробь. Бесконечная десятичная дробь, которая, начиная с некоторого места, состоит из неограниченно повторяющихся групп знаков (периодов). Обозначается путем заключения периода в скобки, например, 2/15 = 0,1333… = 0,1 (3) или 1/7 = 0,(142857).

Правильная дробь. Дробь, числитель которой меньше знаменателя, например, 2/3, 11/17.

Смешанная дробь. Число, имеющее целую и дробную части.

Е

ЕДИНСТВЕННОСТЬ. Существованиене более одного математического объекта с заданными свойствами.

З

ЗАВИСИМОСТЬ. Наличие той или иной связи между различными величинами.

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. Зависимость между величинами, заключающаяся в том, что одна из них является однозначной функцией других.

ЗАДАЧА. Требование определить математический объект, удовлетворяющий заданным условиям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Второй член В импликации А Þ В.

ЗАКОН исключения третьего. Закон логики: истиной является одно из двух высказываний «А» или «не А», третьего не дано.

ЗАПЯТАЯ. Знак, употребляемый в математике для отделения друг от друга различных выражений, чисел или их частей.

ДЕСЯТИЧНАЯ ЗАПЯТАЯ. Знак, отделяющий целую часть от дробной при представлении действительного числа десятичной дробью.

И

ИЗМЕРЕНИЕ. 1. Процесс получения количественной меры объекта. 2. Один из параметров, определяющих геометрический объект (например, у параллелепипеда три измерения – длина, ширина и высота).

ИЗОМОРФИЗМ. Взаимно однозначное соответствие между алгебраическими системами, сохраняющее операции и отношения между их элементами.

ИКОСАЭДР. Правильный многогранник, имеющий 20 треугольных граней, 30 ребер и 12 вершин, в каждой из которых сходятся 5 ребер.

ИМПЛИКАЦИЯ. Операция в алгебре логики; обозначается
А Þ В (или А ® В), где А и В – высказывания; читается: «если А, то В», или «из А следует В»; высказывание А Þ В считается по определению истинным всегда, кроме случая, когда А – истинно, а В – ложно.

ИНВАРИАНТНОСТЬ. Свойство математического объекта не меняться при определенных преобразованиях.

ИНДУКЦИЯ. Получение общего утверждения, исходя из частных случаев.

математическая индукция. Метод доказательства утверждений в математике, основанный на аксиоме математической индукции.

неполная индукция. Получение общего утверждения на основании неполного перечня его частных случаев.

ИНТЕРВАЛ. Множество действительных чисел х, удовлетворяющих строгому двойному неравенству a < x < b, где а и b – действительные числа, называемые концами интервала; обозначается (a; b) или ] a; b [.

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ. Задание конкретного смысла абстрактной системе логики и математики (символу, выражению, высказыванию и т.д.).

ИНФОРМАТИКА. Комплекс научных дисциплин, изучающих различные аспекты информации, ее извлечения, хранения, передачи, классификации, переработки и т.д.

ИНЪЕКЦИЯ. Однозначное отображение множества А в множество А, при котором различные элементы из А имеют различные образы в В; при этом каждый элемент из А имеет образ А в В, однако некоторые элементы из В могут не иметь прообраза в А.

ИСТИНА. Одно из возможных истинностных значений высказывания.

К

КАТЕТ. Сторона прямоугольного треугольника, прилегающая к прямому углу.

КВАДРАТ. 1. Прямоугольник, у которого все стороны равны. 2. Вторая степень числа или алгебраического выражения; обозначается а ².

КВАНТОР. Логическая операция, которая по предикату строит высказывание, характеризующее его область истинности.

Квантор всеобщности. Логическая операция, обозначаемая символом ", с помощью которой строится высказывание «для всех х справедливо свойство Р», записывающееся в виде формулы (" х) Р(х).

Квантор существования. Логическая операция, обозначаемая символом $, с помощью которой строится высказывание «существует х, для которого справедливо свойство Р», записывающееся в виде формулы ($ х) Р(х).

КЛАСС. 1. см. Множество. 2. Понятие, более общее, чем множество; в отличие от множества может содержать в качестве элемента любой класс или любое множество. 3. Название одной из единиц в некоторых естественно – научных классификациях и систематиках.

Класс эквивалентности. Совокупность всех элементов, эквивалентных заданному элементу в множестве, где установлено отношение эквивалентности.

КЛАССИФИКАЦИЯ. Система соподчиненных понятий, составленная на основе учета общих признаков рассматриваемых объектов и закономерных связей между ними.

КОЛЬЦО. 1. Множество с двумя бинарными операциями – сложением и умножением, причем по сложению кольцо образует абелеву группу, а умножение дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа. 2. Множество точек на плоскости, ограниченное двумя концентрическими окружностями и содержащее эти окружности.

КОММУТАТИВНОСТЬ. Свойство бинарной операции (*), которое определяется равенством а * b = b * a. Сложение и умножение чисел коммутативны, вычитание и деление чисел, умножение матриц некоммутативны.

КОНСТАНТА. Векторная или скалярная величина, сохраняющая постоянное значение в широком круге задач.

КОНТИНУУМ. 1. Мощность множества чисел отрезка [0; 1]. 2. Любое связное множество такой же мощности, как множество чисел отрезка [0; 1].

КОНТРАПОЗИЦИЯ. 1. Теорема, обратная противоположной; равносильна прямой теореме. 2. Логический принцип, согласно которому, если из одного утверждения следует другое, то отрицание последнего влечет отрицание первого.

КОНУС. Геометрическое тело, ограниченное одной из полостей конической поверхности и плоскостью, которая пересекает эту поверхность и образует основание.

КОНЪЮНКЦИЯ. Логическая операция, формализующая образование высказывания «А и В» из высказываний А и В; конъюнкция высказываний А и В обозначается А Ù В, А & В, А · В, она истинна тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В.

КООРДИНАТЫ. Числа, взятые в определенном порядке и характеризующие положение точки на линии, на плоскости, в пространстве.

КОРТЕЖ. Конечная последовательность каких-либо объектов, допускающая повторения; обозначается (х ₁, …, х_n) или .

КРАТНОЕ. Число, равное данному числу, умноженному на целое.

наименьшее общее кратное. Наименьшее из всех общих кратных конечного множества натуральных чисел; для многочленов из общих кратных выбирается многочлен наименьшей степени;

общее кратное. Натуральное число, делящееся без остатка на каждое из данной совокупности натуральных чисел; аналогично определяется общее кратное совокупности многочленов.

КРУГ. Часть плоскости, ограниченное окружностью и содержащая ее центр.

большой круг. Пересечение сферы с плоскостью, проходящей через ее центр.

КУБ. 1. Правильный многогранник, имеющий 6 квадратных граней, 12 ребер и 8 вершин, в каждой из которых сходятся под прямым углом 3 ребра. 2. Третья степень числа или алгебраического выражения; обозначается а ³.

Л

ЛЕММА. Вспомогательное утверждение, используемое для доказательства одной или нескольких теорем.

ЛОГИКА. Наука о законах и формах мышления.

математическая логика. Раздел математики, изучающий математические доказательства и вопросы обоснования математики.

логика предикатов. Раздел математической логики, изучающий логические законы, общие для любой области объектов с заданными на них предикатами.

ЛОЖЬ. Одно из возможных истинностных значений высказывания.

ЛОМАНАЯ. Последовательность отрезков (звеньев), конец каждого из которых (кроме последнего) является началом следующего и смежные отрезки не лежат на одной прямой.

ЛУЧ. Часть прямой, расположенная по одну сторону от какой-либо точки этой прямой и включающая эту точку.

М

МЕНЬШЕ. Отношение порядка, определяющего строгую упорядоченность множества. Обозначается знаком <.

Меньше или равно. Отношение порядка, определяющее нестрогую упорядоченность множества. Обозначается знаком £.

МЕРА. Неотрицательная аддитивная функция множества, равная нулю на пустом множестве; является обобщением понятий длины, площади, объема; обозначается для множества Е через mes E.

МЕСТО точек, геометрическое. Множество точек (образующих кривую или поверхность), выделяемых из всех точек пространства каким-либо геометрическим требованием или свойством.

МИНУС. Математический знак «–», используемый как знак перехода к противоположному элементу (– а), знак вычитания (а – b), знак приближения к пределу слева и т.д.

МНОГОГРАННИК. Тело, ограниченное плоскими многоугольниками.

правильный многогранник. Многогранник, у которого все грани – равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны.

МНОГОУГОЛЬНИК. Плоская геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной.

МНОЖЕСТВО. Объединение в единое целое определенных вполне различаемых элементов; задается либо перечислением его элементов, либо указанием их характеристического свойства.

бесконечное множество. Множество, которое не является конечным.

конечное множество. Либо пустое множество, либо множество, состоящее из n элементов, где n – натуральное число.

несчетное множество. Бесконечное множество, элементы которого нельзя целиком перенумеровать натуральными числами.

счетное множество. Множество, для которого существует взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел.

числовое множество. Множество, элементами которого являются числа.

МОЩНОСТЬ множества. То общее, что присуще всем множествам, которые могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие друг другу.

Н

НЕРЕФЛЕКСИВНОСТЬ. Свойство бинарного отношения: оно нерефлексивно, если не является ни рефлексивным, ни антирефлексивным.

НЕСИММЕТРИЧНОСТЬ. Свойство бинарного отношения: оно несимметрично, если не является ни симметричным, ни антисимметричным.

НЕСОИЗМЕРИМОСТЬ. Отсутствие у двух величин общей меры.

О

ОБОЗНАЧЕНИЕ математическое. Правило символического выражения математического объекта с помощью буквенных, цифровых и специальных математических знаков, а также их расположения.

ОБРАЗ. Результат отображения.

ОБЪЕДИНЕНИЕ. Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданной совокупности множеств ; обозначается , иногда ; для конечного числа множеств употребляется обозначение (соответственно А ₁ +
+ … + А_n).

ОБЪЕМ. Неотрицательная аддитивная функция трехмерных геометрических тел, не меняющая своего значения при движении тела и равная единице на единичном кубе.

ОКРУЖНОСТЬ. Множество всех точек плоскости, находящихся на одном и том же положительном расстоянии r (радиус окружности) от данной точки этой плоскости (центра окружности).

вписанная окружность. Окружность, которая касается каждой стороны данного многоугольника.

описанная окружность. Окружность, которой принадлежат все вершины данного многоугольника.

ОКТАЭДР. Правильный многогранник, имеющий 8 треугольных граней, 12 ребер и 6 вершин, в каждой из которых сходятся 4 ребра.

ОПЕРАЦИЯ.

алгебраическая операция. Отображение, сопоставляющее всякому упорядоченному набору n элементов данного множества определенный элемент этого же множества; число n фиксировано для данной операции.

бинарная операция. Алгебраическая операция для случая n = 2.

логическая операция. Способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором истинность сложного высказывания полностью определяется истинными значениями исходных высказываний; к логическим операциям относятся: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция, а в расширенном смысле относят также кванторы.

операция, обратная данной. Операция, позволяющая найти один из исходных элементов по результату и остальным исходным элементам данной операции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1. Задание математического объекта, позволяющее однозначно отличать его от других. 2. Получение результата.

ОРДИНАТА. Вторая из декартовых координат точки.

Бинарное отношение. Совокупность упорядоченных пар элементов данного множества; про элементы а и b, входящих в одну из заданных пар, говорят, что они «находятся в отношении R между собой» и обозначают это формулой aRb.

ОТОБРАЖЕНИЕ. Соответствие, при котором каждому элементу одного множества сопоставляется единственный элемент другого множества; обозначается j: А ® В.

ОТРЕЗОК. 1. Часть прямой, заключенная между двумя ее точками и включающая обе эти точки. 2. Множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а £ х £ в; обозначается [ а, в ].

ОТРИЦАНИЕ. Логическая операция, обозначаемая ù А или (читается «не – А»); по определению высказывание ù А истинно тогда, когда высказывание А ложно.

П

ПАРА. Двухэлементное упорядоченное множество (a, b), где а и b – компоненты.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. Плоский четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ. 1. Наличие общих точек геометрических объектов. 2. Множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из конечной или бесконечной совокупности множества А a и обозначаемое или П А _a; для конечного числа множеств А ₁, … A_n употребляют обозначения или А ₁ ×… × А_n.

ПЕРЕМЕННАЯ. Величина, значение которой в условиях данной задачи может изменяться.

зависимая переменная. Переменная величина, значение которой определяются значениями независимой переменной.

независимая переменная. Аргумент.

ПЕРЕСТАНОВКА. Расположение в определенном порядке элементов конечного множества; число перестановок Р_n множества из n различных элементов равно n!.

ПЛОСКОСТЬ. Один из основных объектов геометрии, определяемый аксиоматически своими отношениями с прямой и точкой.

координатная плоскость. Плоскость, содержащая две оси координат.

ПЛОЩАДЬ плоской фигуры. Неотрицательная аддитивная функция геометрической фигуры на плоскости, сохраняющая свое значение при движениях и удовлетворяющая условию, что единичный квадрат имеет площадь, равную единице.

ПОДМНОЖЕСТВО множества А. Множество В, каждый элемент которого является элементов множества А. Множество А содержит любое свое подмножество, что обозначается как В Ì А или А É В.

ПОДОБИЕ. Отображение плоскости или пространства на себя, при котором все расстояния между точками изменяются в одном и том же отношении k (k – коэффициент подобия).

ПОСТОЯННАЯ. Величина, значение которой в условиях данной задачи неизменно.

ПОСТРОЕНИЕ. Метод решения геометрических задач при помощи инструментов (линейка, циркуль и т.п.) и без них.

ПРИЗМА. Многогранник, у которого две грани – равные n -угольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные – параллелограммы.

ПРИЗНАК (критерий). Правило или условие для проверки выполнения или невыполнения данного утверждения.

Признак делимости. Правило, позволяющее судить о делимости без остатка одних натуральных чисел на другие.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ. Результат операции умножения.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ.

Обратная пропорциональность. Функция, задаваемая формулой вида у = k / x, где k ¹ 0, х – аргумент, у – функция; графиком обратной пропорциональности является равносторонняя гипербола.

Прямая пропорциональность. Функция, задаваемая формулой у = kx (k ¹ 0), где k – коэффициент пропорциональности, х – аргумент, у – функция; графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат с углом наклона a к оси абсцисс, определяемым из соотношения .

ПРОТИВОРЕЧИЕ. Ситуация в математической логике, когда доказанными оказались и утверждение А и его отрицание ù А.

ПРОЦЕНТ. Сотая часть числа обозначаемая %.

ПРЯМАЯ. 1. Один из основных объектов геометрии, определяемый аксиоматически. 2. Множество точек координатной плоскости, определяемый уравнением Ах + Вy + С = 0, где А и В не равны 0 одновременно. 3. Линия пересечения двух различных плоскостей.

Р

РАВНОВЕЛИКОСТЬ. Равенство площадей (объемов) плоских (пространственных) фигур.

РАВНОМОЩНОСТЬ. Отношение между двумя множествами, заключающееся в том, что между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

РАВНОСИЛЬНОСТЬ. 1. Свойство двух или нескольких уравнений с одним неизвестным (или систем n уравнений с n неизвестными), заключающееся в том, что они имеют одно и то же множество корней (решений) в том же поле чисел. 2. Свойство логических формул быть логически эквивалентными.

РАЗБИЕНИЕ. Представление множества в виде объединения непересекающихся множеств.

РАЗМЕЩЕНИЕ. Конечная последовательность различных элементов данного множества; число различных размещений по k элементов данного множества из n элементов обозначается через или (n) _k и равно .

РАЗНОСТЬ. Результат вычитания, т.е. такое число с = a – b, что его сумма с b (вычитаемым) равна а (уменьшаемому).

Разность множеств. Множество А \ В, состоящее из тех элементов множества А, которые не являются элементами множества В.

РАЗРЯД. Место, занимаемое цифрой при написании числа в позиционной системе счисления.

РЕБРО. 1. Пересечение соседних граней многогранного угла или многогранника. 2. Пара связанных соседних вершин графа.

РЕЗУЛЬТАТ измерения. Значение величины, найденное путем ее измерения.

РЕФЛЕКСИВНОСТЬ. Свойство бинарного отношения R: если R определено на множестве М, то любой элемент этого множества находится в отношении R к самому себе.

РЕШЕНИЕ. 1. Математический объект, удовлетворяющий условиям поставленной задачи. 2. Процесс отыскания решения (1.). 3. Выбор одной из нескольких возможностей, удовлетворяющих заданным условиям.

РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА. Метод отсеивания составных чисел, при котором последовательно вычеркиваются числа, делящиеся на 2, 3, 5 и т.д., первое число, остающееся после каждого этапа, является простым.

С

СЕКУЩАЯ. Прямая, имеющая с данной кривой по меньшей мере две разные общие точки.

СИММЕТРИЧНОСТЬ. Свойство бинарного отношения R: если имеет место aRb, то справедливо и bRa.

СИММЕТРИЯ. 1. Свойство геометрического объекта совмещаться с собой при некоторых преобразованиях, образующих группу. 2. Преобразование, совмещающее геометрический объект с самим собой при повторении.

осевая симметрия. Отображение точек плоскости или пространства, при котором каждая точка А переходит в точку ; симметричную относительно фиксированной прямой (оси симметрии), т.е. А и , лежащие на одном перпендикуляре к оси симметрии, расположены по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее; при этом считается, что точки оси симметрии отображаются сами на себя;

симметрия относительно плоскости. Отображение точек пространства, при котором каждая точка переходит в точку, симметричную относительно данной плоскости, т.е. лежащую на том же перпендикуляре к плоскости и на том же расстоянии, но с другой стороны;

центральная симметрия. Отображение точек плоскости или пространства, при котором каждая точка А переходит в точку , симметричную относительно фиксированной точки (центра симметрии), т.е. точки А и лежат на одной прямой, проходящей через центр симметрии, причем расположены по разные стороны и на одинаковом расстоянии от него.

СИСТЕМА АКСИОМ. Совокупность аксиом, из которых выводится некоторая математическая теория.

непротиворечивая система аксиом. Система аксиом, из которой нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.

позиционная система счисления. Система счисления, основанная на принципе позиционного значения цифр, т.е. на том, что одна и та же цифра получает различные числовые значения в зависимости от ее места в записи числа (например, цифры 2 и 3 в числах 203, 23, 32); дает возможность с помощью конечного количества различных цифр выразить все натуральные числа.

система счисления. Способ обозначения и наименования натуральных чисел.

десятичная система счисления. Позиционная система счисления с основанием 10, имеющая десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; любое натуральное число может быть записано в виде , где a_i – цифры, a_n ¹ 0, а n – номера разряда: n = 1 – единицы, n = 2 – десятки, n = 3 – сотни, n = 4 – тысячи и т.д.

двоичная система счисления. Позиционная система счисления с основанием 2, в которой имеется две цифры 0 и 1, их последовательностями записываются все натуральные числа; двойка записывается как 10, 4 = 2² – как 100, 2 ⁿ – как единица с n нулями, все остальные числа представляются в виде сумм степеней двойки.

декартова система координат. Система прямолинейных координат на плоскости или в пространстве, в которой масштабы по осям координат или длины базисных векторов равны; обычно употребляется прямоугольная декартова система координат;

Система уравнений. Множество уравнений, для которых требуется найти решения, удовлетворяющие одновременно всем уравнениям системы.

СЛАГАЕМОЕ. Любой из элементов, над которым производится операция сложения.

СЛЕДСТВИЕ. Высказывание, истинность которого обязательно имеет место, если заданные высказывания истинны.

СЛОЖЕНИЕ. 1. Одно из четырех арифметических действий. 2. Групповая операция в абелевой группе с аддитивной записью посредством знака «+».

СОЕДИНЕНИЕ. Собирательный термин комбинаторики, обозначающий конфигурации изучаемых элементов; сочетания, перестановки, размещения и т.д.

СОИЗМЕРИМОСТЬ. Наличие общей меры у однородных величин.

СОКРАТИМОСТЬ дроби. Наличие в числителе и знаменателе дроби общего делителя, который позволяет дробь сократить.

СОКРАЩЕНИЕ дроби. Тождественное преобразование дроби, заключающееся в одновременном делении числителя и знаменателя на их общий делитель.

СООТВЕТСТВИЕ. Любая совокупность пар вида (a, b), где элемент а принадлежит множеству А, а элемент b – множеству В; при этом элементы а и b, входящие в любую пару, называются соответствующими друг другу; элементу а из А может не соответствовать ни один элемент из В, соответствовать один или несколько элементов из В, в то же время, элемент b из В может не соответствовать ни одному, соответствовать одному или нескольким элементам из А; множества А и В могут совпадать.

взаимно однозначное соответствие. Соответствие, при котором каждому элементу из А соответствует не более одного элемента из В, а каждый элемент из В соответствует не более чем одному элементу из А.

СОЧЕТАНИЕ. Состоящее из k элементов подмножество множества, содержащего n элементов; число сочетаний из n по k обозначается или и определяется формулой .

СОЧЕТАНИЕ с повторениями. Совокупность размещений с повторениями, состоящих из тех же элементов, которые повторяются одинаковое число раз.

СТЕРЕОМЕТРИЯ. Часть геометрии, в которой изучаются свойства пространственных фигур.

СУММА. Результат операции сложения.

СУПЕРПОЗИЦИЯ. 1. Составление из двух функций и сложной функции . 2. произведение отображений.

СЧЕТ. 1. Операция, позволяющая установить, сколько элементов содержит данное конечное множество. 2. Совокупность первых четырех действий над рациональными числами: сложения, вычитания, умножения и деления.

СЮРЪЕКЦИЯ. Такое отображение одного множества в другое, что любой элемент из В имеет прообраз в А.

Т

Таблица математическая. Таблица, содержащая значения какой-либо функции, расположенные в зависимости от значений аргумента, или таблица, содержащая совокупность в систематическом порядке; возможны также таблицы, содержащие графический материал.

ТАВТОЛОГИЯ. Логическая функция, всегда принимающая значение «истина» независимо от истинности значений аргументов.

ТЕОРЕМА. Предложение, истинность которого может быть доказана в данной аксиоматической теории; обычная запись теоремы: , где А – условие, В – заключение.

обратная теорема. Теорема, в которой условием является заключение, а заключением – условие данной теоремы; данную теорему по отношению к обратной часто называют прямой. Если прямая теорема записана в форме , то обратная может быть записана в виде . Из справедливости прямой теоремы не следует справедливость обратной.

противоположная теорема. Теорема, условие которой есть отрицание условия данной теоремы, а заключение – отрицание заключения данной теоремы. Если данная теорема записана в форме , то противоположная записывается как Þ . Теорема, обратная противоположной, равносильна данной.

ТЕОРИЯ множеств. Раздел математики, посвященный свойствам множеств, преимущественно, бесконечных.

ТЕТРАЭДР. Правильный многогранник, имеющий 4 треугольные грани, 6 ребер и 4 вершины, в каждой из которых сходятся 3 ребра.

ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА. Выражение, используемое при формулировке теоремы , объединяющей теорему А ® В и ее обратную А В: «А тогда и только тогда, когда В».

ТОЖДЕСТВО. Равенство выражений с одной или несколькими переменными, левая и правая части которого принимают равные значения при всех допустимых значениях переменных.

ТОЧКА. 1. Элемент какого-либо пространства, рассматриваемого как множество. 2. Исходный объект геометрии, косвенное определение которого дается в аксиомах геометрии. 3. Значение аргумента функции.

ТРАНЗИТИВНОСТЬ. Свойство бинарного отношения R, заключающееся в том, что из aRb и bRc следует aRc; примеры транзитивных бинарных отношений: =, ³, >, £, <.

ТРАПЕЦИЯ. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны (основания), а две другие не параллельны (боковые стороны).

ТРЕУГОЛЬНИК Паскаля. Треугольная таблица чисел, являющихся биномиальными коэффициентами.

У

УГОЛ. 1. Геометрическая фигура, образованная двумя лучами, входящими из одной точки. 2. Мера поворота луча вокруг его начала.

УМЕНЬШАЕМОЕ. Тот из элементов, участвующих в операции вычитания, из которого вычитается другой; если вычитание записано как с = a – b, то а – уменьшаемое.

УМНОЖЕНИЕ. Различные бинарные операции, производимые над числами, матрицами, векторами, элементами группы, кольцами и т.д.; при обозначении умножения зачастую не употребляется специальный знак, а просто сомножители ставятся рядом; употребляются также знаки «·», «´», «Ä» и др.

УРАВНЕНИЕ. Запись в форме равенства задачи об отыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны.

условие достаточное. Условие, при выполнении которого данное утверждение заведомо верно.

условие необходимое. Условие, при невыполнении которого данное утверждение не может быть верным.

необходимое и достаточное условие. Условие, при выполнении которого данное утверждение верно, а при невыполнении – неверно. Запись .

УТВЕРЖДЕНИЕ. Высказывание.

Ф

ФАЙЛ. Законченная именованная совокупность информации, набор данных, используемый программой, или сама программа, или любой документ, создаваемый пользователем; основной элемент хранения данных на жестком диске или на внешнем носителе информации.

ФАКТОРИАЛ. Функция, определенная на множестве целых неотрицательных чисел, значение которой равно произведению натуральных чисел от 1 до данного натурального числа n; обозначается
n! = 1 · 2 · … · n; по определению 0! = 1.

ФАКТОРМНОЖЕСТВО. Множество, элементами которого являются классы эквивалентности данного множества по фиксированному отношению эквивалентности.

Геометрическая ФИГУРА. Множество точек на плоскости или в пространстве.

ФОРМУЛА. Символическая запись, состоящая из цифр, букв и специальных знаков, расположенных в определенном порядке и являющаяся носителем информации.

ФУНКЦИЯ. Одно из основных понятий математики, соответствие между элементами множеств Х (х Î Х – аргумент) и Y (у Î Y – значение функции), обозначаемое f: или ; обычно к этому добавляется требование однозначности; чаще всего подразумевается также, что функция является численнозначной.

Ц

ЦИЛИНДР. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями.

Прямой круговой цилиндр. 1. Цилиндрическая поверхность, у которой направляющая есть окружность, а образующие перпендикулярны к плоскости, в которой лежит направляющая. 2. Тело, ограниченное этой поверхностью и двумя плоскостями, перпендикулярными образующим.

ЦИФРА. Символ алфавита, с помощью которого обозначаются натуральные числа.

ЦИФРЫ.

арабские цифры. Символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью которых можно записать любое натуральное число.

римские цифры. Символы I, V, X, L, C, D, M, соответствующие числам 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, с помощью которых, используя повторения и определенные позиционные правила, записываются натуральные числа в римской нумерации.

Ч

ЧАСТНОЕ. Результат деления, обозначается a: b, a / b или .

ЧЕТНОСТЬ. Принадлежность числа к четным или нечетным числам.

ЧИСЛИТЕЛЬ. Делимое в дроби или в дробном выражении.

отрицательное ЧИСЛО. Действительное число, меньшее нуля;

положительное ЧИСЛО. Действительное число, большее нуля;

простое ЧИСЛО. Натуральное число p >1, натуральными делителями которого являются только два числа: 1 и р;

противоположное ЧИСЛО. Число, которое в сумме с данным числом составляет нуль;

рациональное ЧИСЛО. Число, равное отношению двух целых чисел, из которых второе не равно нулю;

совершенное ЧИСЛО. Целое положительное число, равное сумме всех своих делителей, отличных от него самого; пример:
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;

составное ЧИСЛО. Натуральное число, имеющее натуральный делитель, отличный от него самого и от единицы.

целое ЧИСЛО. Натуральное число или отрицательное натуральное число, или нуль; множество целых чисел обозначается Z.

Ш

ШАР. Множество точек трехмерного пространства, расстояние каждой из которых до данной точки (центра шара) не превышает заданного расстояния R (радиус шара).

ШЕСТИГРАННИК. Пространственная геометрическая фигура, имеющая шесть граней.

Э

ЭКВАТОР. Фиксированныйбольшой круг сферы, с помощью которого определяется положение точки на сфере.

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ. Число, равное отношению расстояния от любой точки кривой 2-го порядка до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы; обычно обозначается e; у эллипса e < 1, у окружности e = 0, у гиперболы e > 1, у параболы e = 1.

ЭЛЕМЕНТ. Объект из совокупности, составляющей рассматриваемое множество; обычно название множества и характеризует основной признак его элементов; например, элементами множества целых чисел являются целые числа.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Дата добавления: 2015-07-18