Величины и их измерение

В математике существует несколько подходов к понятию скалярной величины. В одних случаях величины просто отождествляются с числами, в других, величина определяется как функция с заданными свойствами, в третьих, как множество с некоторой совокупностью свойств.

При аксиоматическом подходе, который получил широкое распространение, скалярная величина определяется косвенно через ту или иную систему аксиом. Выбор системы может быть различным (работы А.Н. Колмогорова, Н.Я. Виленкина и др.). В одних случаях аксиоматика скалярных величин предполагает известными действительные числа, в других – скалярная величина имеет самостоятельное определение.

§ 1. Понятие величины как особого
свойства объектов или явлений

Длина, площадь, масса, скорость, стоимость – величины. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальной школе, где величина наряду с числом является ведущим понятием. Величины – это особые свойства реальных объектов или явлений. Например, свойство предметов иметь протяженность называется длиной. Это же слово мы употребляем, когда говорим о протяженности конкретных объектов. Поэтому про длины конкретных объектов говорят, что это величины одного рода.

Вообще однородные величины выражают одно и то же свойство объектов некоторого множества. Разнородные величины выражают различные свойства объектов. Так, длина и площадь (l, S) – это разнородные величины.

Величины – длина, площадь, масса, объем и другие обладают рядом общих свойств.

1°. Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше другой. Иными словами, для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше» и «больше» и для любых величин а, в справедливо либо а = в, либо а < в, либо в < а.

2°. Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Другими словами, для любых двух величин а и в однозначно определяется величина а + в, называемая суммой величин а и в.

3°. Величину можно умножить на действительное число, в результате получается величина того же рода, т.е.:

(" а) (" х Î R₊ )($! в) в = х · а,

величину в называют произведением величины а на число х.

4°. Величины одного рода можно вычитать, определяя разность величин через сумму: разностью величин а и в называется такая величина с, что а = в + с.

5°. Величины одного рода можно делить, определяя частное через произведение величины на число: частным величин а и в называется такое неотрицательное число х, что а = х · в. Чаще это число х называют отношением величин а и в и записывают в таком виде:

§ 2. Понятие измерения величины

Сравнивая величины непосредственно, мы можем установить их равенство или неравенство. Чтобы получить более точный результат сравнения, например узнать, на сколько масса одного тела больше массы другого, необходимо величины измерить. Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей – другой, для масс – третий и т.д. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определенное численноезначение привыбранной единице.

Вообще если дана величина а и выбрана единица величины е, то в результате измерения величины а находят такое действительное число х, что а = х × е. Это число х называют численным значением величины а при единице величины е.

Символически записывают так: х = т_е (а).

Согласно определению любую величину можно представить в виде произведения некоторого числа и единицы этой величины. Например, 5 кг = 5 · 1 кг, 12 см = 12 · 1 см, 3 ч = 3 · 1 ч.

Используя это, а также определение умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы измерения величины к другой.

Дана некоторая величина а. Пусть е ₁ и е ₂ – две единицы измерения величины, которые между собой связаны так: е ₁= пе ₂,где п Î R₊, пусть (а) = р, т.е. а = p × e ₁. Подставим вместо е₁ его значение через е₂, получим: а = р × п × е_2, т.е. (а) = р × п.

Итак, т_е2(а) = т_{е 1}(а) × т_{е 2}(е ₁).

П р и м е р ы.

.

.

Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими являются длина, площадь, объем, масса и др.

Кроме скалярных величин, в математике рассматривают еще векторные величины. Для определения векторной величины необходимо указать не только ее численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля и др.

В нашем курсе мы будем рассматривать только скалярные величины и причем такие, численные значения которых положительны.

Измерение величин позволяет свести их сравнение к сравнению чисел, операции над величинами к соответствующим операциям над числами.

1. Если величины а и в измерены при помощи е, то выполняются следующие соотношения:

а = в Þ т_е (а) = т_е (в).

а > в Þ т_е (а) > т_е (в).

а < в Þ т_е (а) < т_е (в).

Например, если массы двух тел таковы, что а = 5 кг, в = 3 кг, то можно утверждать, что масса а больше массы в, поскольку 5 > 3.

2. Если величины а и в измерены при помощи единицы величины е, то, чтобы найти численное значение суммы а + в, достаточно сложить численные значения величин а и в:

а + в = с Þ т_е (а + в) = т_е (а) + т_е (в).

Например, если а = 15 кг, в = 12 кг,то

а + в = 15 кг + 12 кг = (15 + 12) кг = 27 кг.

3. Если а, в величины, измеренные при помощи единицы величины е, х Î R₊, то в = х а Þ т_е (в)= х × m_е (а).

Дата добавления: 2015-07-18