Изображение плоских фигур с помощью параллельного проектирования

Определение. Изображением данной фигуры называют любую фигуру, подобную параллельной проекции данной фигуры.

Согласно этому определению изображение по методу параллельного проектирования может быть получено в результате выполнения двух операций.

1. Все точки фигуры проектируются параллельно проектирующей прямой на плоскость проекций.

2. Полученная фигура подвергается подобному преобразованию.

Фигура, полученная в результате выполнения этих двух операций, и называется изображением оригинала.

Вторая операция имеет целью придать чертежу удобные размеры, чтобы он поместился на классной доске или на листе бумаги. Разумеется, в тех случаях, когда размеры проекции нас устраивают, второй операции может и не быть, или для общности рассуждений ее можно рассматривать как тождественное преобразование.

В стереометрии часто приходится изображать, пространственные фигуры, содержащие различные плоские элементы.

Теория изображения плоских фигур основана на следующих двух теоремах (правилах, упомянутых в § 2 этой главы).

Теорема 1. Любой данный треугольник может быть изображен произвольным треугольником.

Доказательство. Пусть дан треугольник А'В'С'. Через прямую (А'В') проведем плоскость П не параллельную плоскости ∆ А¢В¢С ¢ и примем ее за плоскость проекций. Зададим в плоскости П произвольный треугольник МРN. В плоскости П построим на отрезке [ А'В' ] ∆А'В'С подобный треугольнику МРN (рис.6). Если спроектировать ∆А¢В¢С¢ на плоскость П параллельно прямой (С'С), то получим ∆А¢В¢С. Отсюда, согласно определению, следует, что изображением данного треугольника А'В'С' может служить произвольный треугольник МРN.

Теорема 2. Если дано изображение треугольника А'В'С', то тем самым однозначно определено изображение каждой точки, принадлежащей плоскости этого треугольника.

Доказательство. Пусть треугольник А'В'С' – оригинал, а ∆АВС – его изображение (рис. 7).

Возьмем в плоскости треугольника А'В'С' произвольную точку D' и проведем прямую (). Предположим что (А'D') || (В'С').

Пусть { Е' } = (А'D') (В'С') (безразлично, находится ли Е' внутри отрезка В'С' или на его продолжении). Изображение Е точки Е' можно найти, воспользовавшись соотношением: . Положение точки D на прямой АЕ определяется из пропорции . Если (A ¢ D ¢)||(В ¢ С ¢), то (АD) || (ВС) и .

Итак, в любом из рассмотренных случаев положение точки D на плоскости П определено.

Из доказанной теоремы вытекает практическое правило для построения изображений плоских фигур.

При построении изображения Ф плоской фигуры Ф' три ее точки, не принадлежащие одной прямой, можно изобразить тремя произвольными точками, не принадлежащими одной прямой. На этом произвол в изображении Ф заканчивается, изображения остальных точек оригинала Ф' вполне определены. В качестве примера рассмотрим изображения некоторых плоских фигур.

Замечание. При параллельном проектировании фигур обращают внимание лишь на начальное (оригинал) и конечное (изображение) положение проектируемой точки, отвлекаясь от ее промежуточных положений. Поэтому нет необходимости каждый раз изображать вместе с фигурой плоскость проекций и проектирующую прямую.

1) Изображение параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм А'В'С'D' (оригинал) (рис. 8а). ∆А'В'D' можно изобразить в виде произвольного ∆ АВD (рис. 8б). При параллельном проектировании проекциями параллельных прямых являются параллельные прямые. Это позволяет построить изображение С точки С¢. Через точку В проводим прямую, параллельную (АD), и через D –прямую, параллельную (АВ). Их точка пересечения определит точку С. Изображением параллелограмма А'В'С'D' является параллелограмм АВСD (рис. 8 б). Таким образом, параллелограмм, в частности, ромб, прямоугольник, квадрат, можно изобразить в виде произвольного параллелограмма.

Рис. 8

2) Изображение трапеции.

Дана трапеция (оригинал) (рис. 9а). Треугольник А'В'D' можно изобразить в виде произвольного треугольника АВD. Для того, чтобы построить точку С – изображение точки С', проводим через точку В прямую, параллельную (АD), и на этой прямой строим точку С так, чтобы . Такимобразом, трапеция изображается в виде трапеции с тем же отношением оснований, что и у оригинала (рис. 9б).

Рис. 9

3) Изображение правильного шестиугольника.

Рассмотрим, правильный шестиугольник А'В'С'D'Е'F' (оригинал) (рис. 10 а). Четырехугольник А'В'С'O' является ромбом. Его можно изобразить в виде произвольного параллелограмма АВСО. Рассматривая оригинал, замечаем, что вершины правильного шестиугольника попарно симметричны относительно его центра. Поэтому, принимая точку О за центр симметрии, строим точки D, Е, F симметричные точкам А, В, С. Шестиугольник АВСDЕF является изображением правильного шестиугольника (рис. 10 б).

Рис. 10

4) Изображение окружности. Пусть на плоскости П' задана окружность S (O', R). Спроектируем ее параллельно прямой т на плоскость П. В этом случае проектирующая прямая опишет цилиндрическую поверхность, которая пересекает плоскость П по эллипсу (рис. 11).

Значит, параллельной проекцией окружности на плоскость П служит эллипс. На основании свойств параллельной проекции можно утверждать, что проекция центра окружности служит центром симметрии эллипса. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса. Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется его хордой.

А

Хорда, проходящая через центр, называется диаметром эллипса. Рассмотрим два взаимно перпендикулярных диаметра [ А'В' ]и[ С'D' ] окружности и проведем хорды окружности, параллельные диаметру [ А'В' ]. Середины этих хорд будут лежать на диаметре [ С'D' ]. Очевидно, что и диаметр [ А'В' ] будет делить пополам хорды, параллельные [ С'D' ]. Это свойство диаметров [ А'В' ] и [ С'D' ] называется сопряженностью. При параллельном проектировании диаметры [ А'В' ] и [ С'D' ] окружности спроектируются в диаметры эллипса [ АВ ] и [ СD ]. При этом свойство перпендикулярности, в общем случае, нарушается, так как оно не является свойством параллельного проектирования, но свойство сопряженности сохраняется.

Итак, взаимно перпендикулярные диаметры окружности проектируются в сопряженные диаметры эллипса. Эллипс имеет только два взаимно перпендикулярных сопряженных диаметра, которые лежат на осях его симметрии. Эти диаметры называются большой и малой осями эллипса.

Касательная l ' к окружности в точке А' параллельна диаметру [ С'D' ], сопряженному диаметру [ А'В' ]. Она спроектируется в прямую l, которая проходит через точку А, принадлежащую эллипсу, и параллельна диаметру [ СD ], сопряженному диаметру [ АВ ].

Такая прямая называется касательной к эллипсу в точке А. Так как подобие плоскости П переводит эллипс в эллипс и сохраняет отношение длин параллельных отрезков, то изображением окружности является произвольный эллипс, причем перпендикулярные диаметры окружности изображаются сопряженными диаметрами этого эллипса.

Задача. Дано изображение окружности в виде эллипса. Построить изображение двух ее взаимно перпендикулярных диаметров.

Решение.

Рассмотрим два перпендикулярных диаметра [ ] и [ ] окружности (рис. 12а) оригинал). Построим хорду . Параллельное проектирование сохраняет параллельность прямых и отношение отрезков одной прямой. Отсюда вытекает

свойство искомых диаметров эллипса: каждый из этих диаметров делит пополам хорды, параллельные другому диаметру. Пользуясь этим свойством, выполним построение. Построим произвольный диаметр [ АВ ] эллипса (рис. 12б изображение) и параллельную [ AB ] хорду [ KL ]. Затем строим середину М этой хорды и проводим через М и О диаметр CD. [ AB ] и [ CD ] – диаметры эллипса, изображающие перпендикулярные диаметры окружности. Такие диаметры эллипса называются сопряженными.

Дата добавления: 2015-07-18