Изображение пространственных фигур

Для изображения пространственной фигуры приходится применять плоский чертеж, а поэтому в отличие от изображения плоских фигур изображение неплоской фигуры не может быть ни равным, ни подобным оригиналу.

При изображении пространственных фигур по методу параллельной проекции особую роль, аналогичную роли треугольника при изображении плоских фигур, играет тетраэдр.

В основе теории изображений пространственных фигур лежат две теоремы: теорема 1 немецких математиков К. Польке (1810-1876) и Т. Шварца (1843-1891) и теорема 2.

Теорема 1. Любой данный тетраэдр может быть изображен произвольным четырехугольником с диагоналями.

Доказательство этой теоремы мы не рассматриваем, интересующиеся могут найти его, например, в работе: Базылев В.Т., Дуничев К.Н. Геометрия. Ч. II. – М.: Просвещение, 1975. – с. 141.

Теорема 2. Если дано изображение тетраэдра, то тем самым определено изображение каждой точки пространства.

Доказательство. В самом деле, пусть А'В'С'D' какой-либо тетраэдр, содержащийся в данной фигуре Ф' и М' точка, причем М'Î Ф', но М' Ï (В'С'D') (рис. 13). Проведем прямую А'М' и обозначим { М¢ ₁} =(А'М') (В'С'D'). Проведем прямую D¢М¢ ₁ и обозначим { М¢ ₂}= (D'М¢ ₁) (В'С').

Рис. 1 3

Точка М¢₂ будет изображаться точкой { М ₂} = (DМ₁) (ВС). Точка М ₁ будет точкой отрезка DМ₂, и будет делить его в том же отношении, в котором точка М¢ ₁ делит отрезок [ D'М' ₂]. Точка М' изображается точкой М, положение которой на луче [ АМ ₁) определится из пропорции = .

Рассмотрим изображения некоторых пространственных фигур.

1) Изображение параллелепипеда.

Рассмотрим тетраэдр В'С'D'С' ₁ (рис. 14). Согласно теореме 1 он изображается в виде произвольного четырехугольника вместе с его диагоналями. Изображение остальных вершин параллелепипеда выполняется однозначно на основании свойств параллельной проекции. Равные и параллельные отрезки изображаются равными и параллельными отрезками, т.е. в данном случае нужно:

1) через вершины В и D, изображения ВСDС ₁, тетраэдра провести прямые, соответственно параллельные (СD)и (СВ). Точку пересечения проведенных прямых обозначим через А;

2) через точки А, В, D провести лучи, сонаправленные с лучом [ СС ₁), и отложить на них отрезки [ АА ₁] _, [ ВВ ₁,[ DD ₁], равные отрезку [ СС ₁];

3) построить отрезки [ А ₁ В ₁],[ В ₁ С ₁], [ С ₁ D ₁], [ D ₁ А ₁].

Фигура АВСDА ₁ В ₁ С ₁ D₁ и будет изображением данного параллелепипеда .

Этой же фигурой, согласно теореме Польке-Шварца, может быть изображен и куб. Однако для того, чтобы чертеж был более наглядным, обычно переднюю грань куба изображают в виде квадрата.

2) Изображение призмы.

Изображение призмы начинают с изображения основания (его изображают как плоский многоугольник (рис.15). Затем изображают боковые ребра в виде параллельных и равных отрезков (боковые ребра, согласно теореме Польке-Шварца, можно изобразить произвольно, т.е. можно произвольно выбрать их длину и расположить под произвольным углом к любой стороне основания). При изображении прямой призмы, для большей наглядности, обычно ее ребра изображают в виде вертикальных отрезков.

3) Изображение пирамиды.

При изображении пирамиды ее вершину и три вершины основания можно изобразить произвольно, а остальные вершины основания построить с использованием свойств параллельной проекции (рис. 16). Изображение пирамиды начинают с изображения основания. Затем произвольно выбирают вершину. Завершают чертеж построением боковых ребер. Для того, чтобы чертеж был более наглядным, условились высоту прямой пирамиды изображать в виде отрезка, параллельного вертикальному краю листа бумаги и или классной доски.

§ 5. Многогранники. Теорема Эйлера о многогранниках

Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому как многоугольники – простейшие фигуры на плоскости.

С чисто геометрической точки зрения многогранник – это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками – гранями. Стороны и вершины граней называют ребрами и вершинами самого многогранника. Грани образуют так называемую многогранную поверхность, на которую накладывают такие ограничения:

1) каждое ребро должно являться общей стороной двух, и только двух, граней, называемых смежными;

2) каждые две грани можно соединить цепочкой последовательных смежных граней;

3) для каждой вершины углы прилежащих к этой вершине граней должны ограничивать некоторый многогранный угол.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней.

Для любого выпуклого многогранника справедлива теорема Эйлера:

Для любого выпуклого многогранника число вершин В плюс число граней Г минус число рёбер Р равно 2, т.е.: В + Г – Р = 2.

Доказательство этой теоремы основано на топологических свойствах, связанных с поверхностями и выходит за рамки нашей программы, поэтому ограничимся иллюстрацией (рис. 17) этой теоремы на примерах.

призма пирамида куб

В = 8 В = 6 В = 8

Г = 6 Г = 6 Г = 6

Р = 12 Р = 10 Р = 12

8 + 6 –12 = 2 6 + 6 – 10 = 2 8 + 6 – 12 = 2

Рис. 1 7

Дата добавления: 2015-07-18