Аксиоматическое определение величины

Величина – одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений. Понятие величины является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объема, массы и т.п. Каждый конкретный род величин связан с определенным способом сравнения физических тел и других объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго.

В пределах системы всех однородных величин (т.е. в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объемов) устанавливаются отношения равенства и неравенства: две величины а и в одного и того же рода или совпадают (а = в) или первая меньше второй (а < в)или вторая меньше первой (в < а). Устанавливается операция сложения а + в = с.

В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных величин отношения а = в, а < в и операция а + в = с обладают следующими свойствами:

1⁰. Каковы бы ни были а и в, имеет место одно и только одно из трех соотношений: или а = в, или а < в, или в < а.

2°. Отношение «равно» рефлексивно, симметрично, транзитивно.

3°. Отношение «меньше» транзитивно (если а < в и в < с, то
а < с).

4°. Для любых величин а и в существует единственная величина
с = а + в (однозначность сложения).

5°. Сложение коммутативно, ассоциативно, монотонно.

6°. Если а > в, существует единственное с, для которого в + с = а.

7°. Каковы бы ни были величина а и натуральное число п, существует такая величина в, что пв = а.

8°. Каковы бы ни были величины а и в, существует такое натуральное число п, что а < пв.

Свойства 1°-8° (их называют аксиомами) описывают систему однородных величин, находящихся в рациональном отношении. Чтобы получить вполне законченную теорию величин к аксиомам 1°-8° надо присоединить еще дополнительную аксиому 9° (аксиому непрерывности).

9°. Если последовательности величин а ₁, а ₂, …, а_n, … и в ₂, в ₁, …, в_n, …, удовлетворяющих условию а ₁ < а ₂ < … < а_n … < в_n < … < в ₂ < в ₁, обладают тем свойством, что в_n – a_n < c для любой величины с при достаточно большом номере п, то существует единственная величина х, которая больше всех а_n и меньше всех в_n.

Аксиома 9° позволяет описать систему однородных величин, находящихся в иррациональном отношении. Свойства 1⁰-9° и определяют полностью современное понятие системы положительных скалярных величин. Если в такой системе выбрать какую-либо величину е за единицу измерения, то все остальные величины этой системы однозначно представляются в виде а = хе, где х Î R ₊

Дата добавления: 2015-07-18