Измерение площадей

С понятием длины отрезка и площади плоской фигуры учащиеся знакомятся уже в начальной школе, где рассматривается ряд вопросов, направленных на формирование у детей представлений о величине и об измерении величины. Учитель начальных классов должен, во-первых, вести работу по формированию умений и навыков, связанных с измерением некоторых величин (формирование измерительных умений и навыков школьников), в основе которых лежит практическая деятельность учащихся, и, во-вторых, учитель должен четко разграничивать понятие «числа» и «величины».

Понятие «площадь фигуры» возникло из рассмотрения задач практического содержания таких типов: «Сколько зерна нужно иметь для засева данного поля?», «Сколько плиток паркета нужно для того, чтобы уложить пол в комнате?».

Сразу же оговоримся, что в этом параграфе мы будем рассматривать лишь ограниченные фигуры, т.е. фигуры, которые можно целиком поместить внутри некоторого квадрата.

Построим на плоскости взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу и на каждой из них по обе стороны от точки пересечения О построим один за другим отрезки, равные отрезку, принятому за единицу измерения длины отрезков е. Через концы этих отрезков проведем прямые, параллельные осям Ох и Оу соответственно (рис. 1).

Будем говорить, что на плоскости построена сеть квадратов нулевого ранга. Разобьем е на 10 равных частей, построим сеть квадратов первого ранга, со стороной
е ₁ = точно также можно построить сеть квадратов второго ранга е ₂ = и т.д.

В каждом квадрате нулевого ранга содержится 100 квадратов первого ранга, в каждом квадрате первого ранга – 100 квадратов второго ранга и т.д., можно говорить о сети квадратов к- го ранга при любом натуральном к.

Теперь будем говорить, что на плоскости построены сети квадратов на отрезке е. Представление о сети квадратов можно получить, рассматривая миллиметровую бумагу.

Пусть фигура Ф расположена на плоскости, на которой построены сети квадратов на единичном отрезке е. Подсчитаем сколько квадратов нулевого ранга лежит внутри фигуры Ф, т.е. состоят только из точек фигуры Ф (рис. 2), обозначим это число n ₀ (возможно, что указанные n₀ квадратов нулевого ранга и составляют фигуру Ф). Если фигура Ф состоит не только из n ₀ квадратов нулевого ранга, подсчитаем теперь сколько квадратов первого ранга всеми своими точками лежит внутри фигуры Ф. Получим число п ₁, причем n ₁ ³ 100 n ₀. Подсчитаем теперь, сколько квадратов второго ранга всеми своими точками лежит внутри фигуры Ф. Это число обозначим . Заметим, что, как и в предыдущем случае, можно доказать, что . Идеализируя указанный процесс, можно говорить о числе n_к квадратов к -ого ранга, лежащих внутри фигуры Ф, при любом натуральном к, т.е. мыслить указанный процесс нахождения чисел n_к –бесконечным. Но на практике он не бесконечен, ограничен возможностями нашего зрения и инструментов.

Рассмотрим бесконечную последовательность, состоящую из полученных выше чисел . Однако, каждое из этих чисел получено при измерении соответствующей ей единицей . Поэтому перепишем эту последовательность так, чтобы каждое число выражало результат измерения единицей е:

.

Это неубывающая последовательность ( и т.д.) ограниченная сверху (границами фигуры), значит имеет предел, его и называют площадью фигуры при единице измерения длины е и обозначают так:

.

На практике измерение площадей выполняют с помощью палетки (прозрачная бумага с нанесенными квадратами). При измерении палеткой площадь фигуры Ф определяется формулой , где т – число квадратов всеми своими точками лежащими внутри фигуры Ф, а m ₀ – число квадратов, которые не всеми своими точками лежат внутри фигуры Ф.

Очевидно, что нахождение площади фигуры непосредственно подсчетом числа квадратов очень неудобно (да и не точно). Существуют формулы для нахождения площадей многоугольников, кругов, секторов и т.д.

Ряд свойств площадей, которые подсказывает нам интуиция и строгие рассуждения, можно привести:

1. Площадь фигуры не зависит от ее положения на плоскости, равные фигуры имеют равные площади (при одной и той же единице измерения).

2. Площадь фигуры равна сумме площадей ее частей, на которые она разбита.

3. При изменении единичного отрезка площадь фигуры также изменяется, причем площадь фигуры при новом единичном отрезке равна ее площади при «старой» единице измерения, умножением на квадрат меры «старого» единичного отрезка при «новом» единичном отрезке.

Может оказаться, что некоторые фигуры имеют равные площади. Так будет, например, если эти фигуры составлены из равных частей.

Две фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими, две фигуры, состоящие из равных частей равносоставленными. Равносоставленные фигуры всегда равновелики и наоборот.

Некоторые формулы площадей можно вывести, используя «равносоставленность» и «равновеликостъ». Например, параллелограмм

АВСD = Ф₁ Å Ф₂ и прямоугольник ЕВСF = Ф₂ Å Ф₃, равносоставлены, а значит и равновелики. Тогда,

S_АВСD = S_ЕВСF = аh (рис. 3).

Аналогично выводятся формулы для нахождения площади треугольника, трапеции, ромба.

Дата добавления: 2015-07-18