Исследование функции нескольких переменных на равномерную непрерывность

1. Является ли функция равномерно непрерывной на множестве ?

Решение:

Найдем область определения данной функции:

По теореме Кантора функция является равномерно непрерывной на компактном множестве, если она непрерывна на этом множестве.

а) Докажем, что функция непрерывна на своей области определения.

– непрерывна на области определения как сумма непрерывных функций;

– непрерывна на области определения как суперпозиция непрерывных функций;

– непрерывна на области определения как разность непрерывных функций;

– непрерывна на области определения как суперпозиция непрерывных функций;

– непрерывна на области определения как суперпозиция непрерывных функций;

б) Множество A является ограниченным и замкнутым и входит в область определения функции . Значит, функция равномерно непрерывна на множестве A по теореме Кантора.

2. Дана функция . Будет ли функция равномерно-непрерывной в области ?

Решение:

Данная функция не является равномерно-непрерывной, так как для последовательностей , справедливо соотношение

При , а расстояние между значениями функции в соответствующих точках не может быть меньше числа .

Ответ: не равномерно-непрерывна в этой области.

3. Исследовать на равномерную непрерывность линейную функцию .

Решение:

Определение равномерной непрерывности:

По определению:

и

Зафиксируем Оценим функцию выражением:

Мы нашли для которого выполняется условие функция равномерно непрерывна.

Ответ: функция равномерно непрерывна.

---

Дата добавления: 2015-07-12