Нахождение точек разрыва функции нескольких переменных

1. Определить, терпит ли функция разрыв в точке ?

Решение:

Найдем предел :

.

Следовательно, точка – точка устранимого разрыва.

Ответ: точка – точка устранимого разрыва.

2. Показать, что множество точек разрыва функции , если , и , не является замкнутым.

Решение:

Пусть , , где − произвольное фиксированное число. Тогда последовательность при сходится к точке . Из соотношения

, ,

Следует, что , − точка разрыва функции . А из неравенства следует непрерывность функции в точке .

Таким образом, множество точек разрыва функции заполняет сплошь ось , за исключением точки , которая является предельной точкой этого множества. Следовательно, множество точек разрыва функции не содержит всех своих предельных точек, а поэтому не является замкнутым.

Ответ: множество точек разрыва функции не является замкнутым.

3. Найти множество точек разрыва функции .

Решение:

Знаменатель не должен равняться 0:

А это уравнение окружности. Значит, множеством точек разрыва для данной функции будет являться окружность радиуса 1 с центром в точке .

Ответ: множество точек разрыва – окружность.

Дата добавления: 2015-07-12