На множестве

.

Решение:

Так как и , т.е. константам, функция монотонна и непрерывна на всем множестве и, следовательно, принимает свои наибольшие и наименьшие значения в граничных его точках и все значения между ними в остальных точках. Изобразим область задания:

Необходимо проверить точки , , :

,

,

.

Следовательно, максимум равен 7, а минимум -8.

Ответ: , .

4.1. Исследование последовательностей на сходимость в

1. К какой точке из сходится последовательность точек

?

Решение:

Имеем:

,

(как произведение бесконечно малой функции на ограниченную).

Тогда, из связи сходимости координат и последовательности точек, получаем

.

Ответ: .

2. Из каких ниже перечисленных последовательностей возможно выделить сходящуюся подпоследовательность?

А) Б)

В) Г)

Решение:

Варианты А и В содержат неограниченные последовательности точек так как , , . Следовательно, к ним не применима теорема Больцано-Вейерштрасса. Варианты Б и Г содержат ограниченные последовательности точек так как , , при . Следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса, из них возможно выделить сходящиеся подпоследовательности.

Ответ: В вариантах Б и Г.

3. Сходится ли последовательность точек ?

Решение:

Для исследования воспользуемся критерием Коши. Условие

эквивалентно условию

.

Рассмотрим каждый модуль по отдельности.

Так как и и разность двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция, то по свойству бесконечно малой функции получаем

.

Однако (в силу произвольности выбора числа ) мы можем задать его например равным . Тогда найдется такое число что

что нарушает условие Коши, и, следовательно, последовательность точек расходится.

Ответ: Нет, не сходится.

---

Дата добавления: 2015-07-12