Применение глобальных свойств функции нескольких переменных для решения задач

1. Является ли функция ограниченной на множестве ?

Решение:

Рассмотрим данное множество:

Получим окружность с центром в точке . Данная окружность является замкнутым ограниченным множеством. Функция является непрерывной на этом множестве. Отсюда по теореме об ограниченности получим, что функция ограничена на этом множестве.

Ответ: функция ограничена на множестве.

2. Является ли компактным множеством множество значений функции определенной на замкнутой сфере радиуса ?

Решение:

Так как область определения – ограниченное замкнутое множество и функция непрерывна как многочлен от элементарных функций, то по теоремам о ограниченности, достижении точных граней, и промежуточных значениях получаем, что область значений будет иметь вид ограниченного замкнутого множества, которое будет являться компактным по признаку компактного множества.

Дата добавления: 2015-07-12