Исследование функции нескольких переменных на непрерывность

1. Доказать по определению на языке , что функция непрерывна в точке .

Решение:

Запишем определение непрерывности на языке :

.

1. Зафиксируем .
2. Условие эквивалентно условию , следовательно , , т.к. .
3. Рассмотрим модуль .

.

Получили функцию .

1. Разрешим это неравенство относительно :

Таким образом, мы нашли , удовлетворяющее условиям определения непрерывности функции. Следовательно, данная функция непрерывна в точке .

2. Пользуясь определением доказать непрерывность функции

в точке .

Решение:

1) Зафиксируем

2) Используя , получаем оценку:

3) Находим зависимость от :

4) Определяем интервал значений :

.

3. Доказать на языке приращений, что функция непрерывна в точке

Решение:

Запишем условие на языке приращений в случае функции :

.

Следовательно, бесконечно малому приращению аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции и, следовательно, она непрерывна.

4. Доказать непрерывность функции в точке .

Решение:

Проверим выполнение необходимого и достаточного условия в точке :

· Точка принадлежит области определения функции , которая совпадает с множеством .

· В точке существует предел, так как она непрерывна как сумма произведений элементарных непрерывных функций.

· Предел в точке равен значению этой функции в точке: =0.

Ответ: Условия выполнены, следовательно, функция в точке непрерывна.

5. Определить множество, на котором непрерывна функция .

Решение:

Исследуем функцию f на непрерывность.

– непрерывна как разность непрерывных функций.

– непрерывна на области определения как суперпозиция двух непрерывных функций.

– непрерывна на области определения как суперпозиция двух непрерывных функций.

– непрерывна на области определения как суперпозиция двух непрерывных функций.

Найдём область определения данной функции:

Следовательно

– множество, на котором функция непрерывна.

6. Доказать, что функция в точке непрерывна вдоль каждого луча , , , однако эта функция не является непрерывной в точке .

Решение:

Условие непрерывности функции вдоль каждого луча

, , ,

равносильно существованию предела

.

Найдем предел

.

Таким образом предельное значение и значение функции в точке О совпадают, следовательно функция непрерывна в точке О по любому из данных лучей.

Проверим непрерывность функции в точке О

.

Рассмотрим последовательность точек

,

.

Следовательно функция разрывна в точке .

7. Доказать, что функция непрерывна по каждой переменной, но не является непрерывной по совокупности этих переменных.

Решение:

Пусть и - любые фиксированные числа.

Тогда

Если , то при любом

Если и .

Таким образом, при каждом фиксированном функция непрерывна по переменной Ввиду симметрии функции относительно и при любом фиксированном функция непрерывна по переменной .

Однако функция не является непрерывной по совокупности переменных в точке Проверим с помощью последовательностей и , которые сходятся при к точке Но соответствующие им последовательности значений функции сходятся при к различным предельным значениям:

Ответ: функция непрерывна по каждой переменной, но не является непрерывной по совокупности этих переменных.

8. Доказать, что функция непрерывна на области её определения.

Решение:

Проведём декомпозицию данной функции:

– непрерывна на своей области определения как простейшая элементарная функция;

– непрерывна на своей области определения как частное двух непрерывных функций;

– непрерывна на своей области определения как суперпозиция непрерывных функций;

– непрерывна на своей области определения как сумма двух непрерывных функций;

– непрерывна на своей области определения как суперпозиция непрерывных функций;

– непрерывна на своей области определения как суперпозиция непрерывных функций;

– непрерывна на своей области определения как суперпозиция непрерывных функций.

Дата добавления: 2015-07-12