Читайте также: |
|
Это уравнение с разделяющимися переменными
. Разделив обе части уравнения на
, получим уравнение с разделенными переменными
. Проинтегрируем обе части уравнения
.
Ответ: .
Пример 36. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию
.
Решение. Заданное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем сначала его общее решение. Для этого разделим переменные
. Разделим обе части уравнения на
. Получим
. Проинтегрируем обе части уравнения
. Для нахождения частного решения подставим в общее решение заданное начальное условие
,
. Получим
. Отсюда
. Подставляя найденное
в общее решение, получим
, которое является частным решением заданного уравнения, удовлетворяющим начальному условию
.
Ответ: .
Пример 37. Решить уравнение .
Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение перового порядка. Решим его методом Бернулли, т.е. решение будем искать в виде произведения двух функций , где
,
- функции от
. Найдем
. Подставим эти
и
в заданное уравнение. Получим
. Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части, вынеся
за скобки:
.
Выберем так, чтобы коэффициент при
в уравнении (1) обратился в ноль, т.е.
и найдем какое-нибудь отличное от нуля его частное решение
. При найденном таким образом
уравнение
примет вид:
. Тогда для нахождения решения
необходимо решить систему
двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
Сначала решаем первое уравнение системы . Разделим Переменные
. Так как требуется найти какое-нибудь отличное от нуля частное решение, то предположим, что
и проинтегрируем обе части:
. Получим
, откуда
. Подставим найденное
во второе уравнение системы. Получим
. Отсюда
. Интегрируя обе части последнего уравнения, получим
, откуда
. Подставляя найденные
и
в
, получим общее решение заданного дифференциального уравнения
.
Ответ: .
Пример 38. Решить уравнение .
Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 82 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Решение. | | | Решение. |