Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой. Уравнения биссектрис

Нормальное уравнение прямой имеет вид

,

где длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую, угол наклона этого перпендикуляра к оси . Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно обе части равенства (12) умножить на нормирующий множитель , взятый со знаком противоположным знаку свободного члена .

Расстояние точки от прямой найдём по формулам

или

. (9)

Уравнение биссектрис углов между прямыми и :

.

Задача 16. Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данной прямой.

Решение. По условию параллельности прямых . Для решения задачи будем использовать уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (8):

.

Найдём угловой коэффициент данной прямой. Для этого от общего уравнения прямой (5) перейдём к уравнению с угловым коэффициентом (6) (выразим через ):

.

Следовательно, .

Тогда .

Задача 17. Найти точку , симметричную точке , относительно прямой .

Решение. Для того, чтобы найти точку симметричную точке относительно прямой (Рис.7) необходимо:

1) опустить из точки на прямую перпендикуляр,

2) найти основание этого перпендикуляра точку ,

3) на продолжении перпендикуляра отложить отрезок .

Итак, запишем уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данной прямой. Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (8):

.

Подставим координаты точки :

. (11)

Угловой коэффициент найдём из условия перпендикулярности прямых:

.

Угловой коэффициент данной прямой

,

следовательно, угловой коэффициент перпендикулярной прямой

.

Подставим его в уравнение (11):

.

Далее, найдём точку точку пересечения данной прямой и ей перпендикулярной прямой. Так как точка принадлежит обеим прямым, то её координаты удовлетворяют их уравнениям. Значит, для отыскания координат точки пересечения требуется решить систему уравнений, составленную из уравнений этих прямых:

Решение системы , , т. е. .

Точка является серединой отрезка , тогда из формул (4):

, ,

найдём координаты точки :

, .

Таким образом, искомая точка .

Задача 18. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 150 кв.ед. (Рис.8).

Решение. Для решения задачи будем использовать уравнение прямой «в отрезках» (7):

. (12)

Так как точка лежит на искомой прямой, то её координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой:

.

Площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла вычисляется по формуле:

(записан модуль, так как и могут быть отрицательными).

Таким образом, получили систему для отыскания параметров и :

Эта система равносильна двум системам:

Решение первой системы , и , .

Решение второй системы , и , .

Подставим найденные значения в уравнение (12):

, , , .

Запишем общие уравнения этих прямых:

, , , .

Задача 19. Вычислить расстояние между параллельными прямыми и .

Решение. Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию произвольной точки одной прямой до второй прямой.

Выберем на прямой точку произвольно, следовательно, можно задать одну координату, т. е. например , тогда .

Теперь найдём расстояние точки до прямой по формуле (10):

.

Рис. 1.8.

Таким образом, расстояние между данными параллельными прямыми равно .

Задача 20. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и (не находя точки пересечения) и

1) проходящей через точку ;

2) параллельной прямой .

Решение. 1) Запишем уравнение пучка прямых с известными образующими (9):

.

Тогда искомая прямая имеет уравнение

. (13)

Требуется найти такие значения и , при которых прямая пучка пройдёт через точку , т. е. её координаты должны удовлетворять уравнению (13):

.

Отсюда

.

Подставим найденное в уравнение (13) и после упрощении получим искомую прямую:

.

2) По условию задачи искомая прямая параллельна прямой

.

Воспользуемся условием параллельности прямых: . Найдём угловые коэффициенты прямых и . Имеем, что , .

Следовательно,

.

Подставим найденное значение в уравнение (13) и упростим, получим уравнение искомой прямой .

Дата добавления: 2015-07-11