Площадь треугольника.

Площадь треугольника с вершинами , , равна:

Выражение вида равно и называется определителем второго порядка.

Задача 1. Найти точку, удалённую на 13 единиц, как от точки , так и от оси .

Решение. Пусть искомая точка. Так как точка удалена от оси на 13 единиц, то её абсцисса или . Следовательно, получим две точки и . Найдём вторую координату.

По условию задачи, расстояние . По формуле (2) имеем,

,

.

Возведем в квадрат обе части равенств:

,

(невозможно).

Отсюда,

или .

Таким образом, получили две точки и .

Задача 2. Даны три вершины параллелограмма , , . Определить четвёртую вершину , противоположную .

Решение. Пусть точка пересечения диагоналей данного параллелограмма (Рис. 4) Тогда по свойству параллелограмма, она делит его диагонали пополам, т. е. и середина . Из (4)

,

,

Таким образом, точка . Аналогично, является серединой диагонали . Так как

, ,

то имеем,

, .

Итак, четвёртая вершина параллелограмма .

Задача 3. Даны вершины треугольника , , . Найти длину его медианы и биссектрисы (Рис.5).

Решение. Пусть медиана треугольника . Тогда из определения медианы следует, что точка середина отрезка . Вычислим координаты точки , используя формулы (4):

,

.

Итак, точка .

Найдём длину медианы по формуле расстояния между двумя точками (2):

.

Таким образом, длина медианы равна .

Пусть биссектриса внутреннего угла треугольника при вершине . Воспользуемся следующим свойством биссектрисы треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону в отношении пропорциональном прилежащим сторонам, т. е.

.

Вычислим длины сторон и по формуле (2):

,

.

Таким образом,

.

Координаты точки определим по формулам (3):

,

.

Итак, точка . Найдём длину биссектрисы:

.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 4. Где расположены точки имеющие: 1) равные абсциссы;2) равные ординаты; 3) равные координаты.

Задача 5. Определить координаты точки, симметричной точке относительно оси абсцисс; относительно оси ординат, если 1) ; 2) .

Задача 6. Построить треугольник . Доказать, что он прямоугольный, если:

1) , , ;

2) , , .

Задача 7. На оси ординат найти точку равноудалённую от точек и , если:

1) , ;

2) , .

Задача 8. Найти центр и радиус окружности, описанной около треугольника , если:

1) , , ;

2) , , .

Задача 9. Даны две смежные вершины параллелограмма , и точка пересечения его диагоналей . Определить две другие вершины, если:

1) , , ;

2) , , .

Задача 10. Отрезок, ограниченный точками , , разделён на равные части. Определить координаты точек деления, если:

1) , , на три части;

2) , , на четыре части.

Задача 11. Дан треугольник . Найти длину медианы и длину биссектрисы , если

1) , , ;

2) , , .

Задача 12. Вычислить площадь треугольника с вершинами , , .

Задача 13. Показать, что точки лежат на одной прямой , , .

Задача 14^*. Даны две вершины и треугольника и точка пересечения его медиан. Определить координаты вершины .

Задача 15^*. Отрезок разделён точками и на три равные части. Найти координаты концов отрезка.

Дата добавления: 2015-07-11