Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний, которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная (), меньшая чем расстояние между фокусами () (Рис. 11).

Простейшее (каноническое) уравнение гиперболы мы получим, если выберем прямую, соединяющую фокусы, за ось абсцисс и поместим начало координат в середине между ними. Тогда уравнение гиперболы примет вид:

, (21)

где

. (22)

Точки , , пересечения эллипса с осью называются вершинами гиперболы. Отрезок называется действительной осью гиперболы, отрезок называется мнимой осью гиперболы, параметры и , входящие уравнение (21), называются действительной и мнимой полуосями соответственно.

Гиперболы

и ,

называется сопряжёнными.

Если , то гипербола называется равносторонней.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к его большой оси, т. е.

. (23)

Очевидно, что .

Гипербола (24) состоит из двух бесконечных ветвей (правой и левой). Расстояние точки гиперболы от его фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами:

Директрисами эллипса называются две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и отстоящие от его центра на расстоянии, равном . Уравнения директрис:

, . (24)

Прямые называются асимптотами гиперболы.

Задача 58. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что уравнения асимптот и расстояние между директрисами .

Решение. Каноническое уравнение гиперболы (21):

.

Для того чтобы найти параметры и составим систему.

Известно, что асимптоты гиперболы задаются уравнениями

.

Тогда из условия задачи получим первое уравнение системы:

.

Так как уравнения директрис (24):

, ,

то из условия задачи

.

Из равенств (22) и (23) следует, что

.

Тогда

.

Это второе уравнение системы.

Итак, получили систему

Её решение , .

Искомое уравнение гиперболы

.

Задача 59. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса . Составить уравнение гиперболе, если её эксцентриситет равен 2.

Решение. Из канонического уравнения данного эллипса известно, что

, .

По формуле (16) найдём :

.

По условию задачи фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса. Значит

.

Так как эксцентриситет гиперболы равен 2, то

.

Для нахождения воспользуемся равенством (22):

.

Следовательно, искомое уравнение гиперболы

.

Дата добавления: 2015-07-11