Задачи для самостоятельного решения. Задача 42. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

Задача 42. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

1) окружность проходит через начало координат и её центр совпадает с точкой ;

2) точки и являются концами одного из диаметров окружности;

3) диаметром окружности является отрезок прямой , заключённй между осями координат;

4) окружность проходит через три точки , , ;

5) окружность проходит через точки , , центр находится на оси ;

6) окружность касается осей координат и проходит через точку .

Задача 43. Определить центр и радиус окружности, заданной уравнением:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Задача 44. Найти точки пересечения окружности с прямыми:

1) ;

2) ;

3) .

Задача 45. Найти угол между радиусами окружности , проведёнными в точки пересечения её с осью .

Задача 46. составить уравнение общей хорды двух окружностей:

1) и ;

2) и .

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний, которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (), большая чем расстояние между фокусами () (Рис. 10).

Простейшее (каноническое) уравнение эллипса мы получим, если выберем прямую, соединяющую фокусы, за ось абсцисс и поместим начало координат в середине между ними. Тогда уравнение эллипса примет вид:

, (16)

где

. (17)

Точки , , , пересечения эллипса с осями называются вершинами эллипса. Отрезки и называются соответственно большой и малой осью эллипса, параметры и , входящие уравнение (16), называются большой и малой полуосями.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к его большой оси, т. е.

. (18)

Очевидно, что .

Расстояние точки эллипса от его фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами

, . (19)

Директрисами эллипса называются две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и отстоящие от его центра на расстоянии, равном . Уравнения директрис:

, . (20)

Задача 47. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его малая полуось равна 16, а эксцентриситет .

Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид (16):

.

По условию задачи малая ось , отсюда, . Известно, что

.

Так как из (17) , то

.

Следовательно, каноническое уравнение эллипса имеет вид

.

Задача 48. На эллипсе найти точку, расстояние которой от правого фокуса в четыре раза больше её расстояния от левого фокуса.

Решение. Пусть точки искомая точка. Расстояние точки от фокусов эллипса определяется формулами (19):

, ,

где расстояние от правого фокуса, расстояние от левого фокуса.

По условию задачи

.

Подставим выражение для эксцентриситета , получим

.

Далее, приведём уравнение данного эллипса к каноническому виду:

.

Тогда , . Следовательно, . Таким образом,

.

Так как точка принадлежит эллипсу, то, подставив в его уравнение, получим :

.

Итак,

.

Дата добавления: 2015-07-11