Признак сходимости Лейбница

Если для знакочередующегося ряда (7) выполнены условия:

1. (начиная с некоторого n),

2. ,

то ряд (7) сходится.

Пример 9. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака сходимости Лейбница: , и , поэтому ряд сходится. Он сходится условно, т.к. ряд, составленный из абсолютных значений, является гармоническим , который расходится.

Пример 10. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных значений . Применим к нему признак сходимости Даламбера:

1, следовательно, этот ряд сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 11. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Это знакочередующийся ряд. Составленный из абсолютных значений ряд имеет вид . Сравним члены этого ряда с членами сходящегося ряда Дирихле :

. Согласно первому признаку сравнения, ряд сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

Функциональные ряды

Функциональным называется ряд , членами которого являются зависящие от функции. Множество значений аргумента , при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Частным случаем функционального ряда является степенной ряд:

, (8) где и — вещественные числа.

Для ряда (8) существует такой интервал (называемый интервалом сходимости) с центром в точке , внутри которого ряд (8) сходится абсолютно, а при > ряд расходится. Число называют радиусом сходимости степенного ряда. Радиус сходимости R в частном случае может быть равен 0 или . На концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для выяснения вопроса о сходимости ряда на концах интервала сходимости достаточно применить к ряду известные признаки сходимости, считая фиксированным и равным .

Пример 12. Найти область сходимости ряда .

Решение. Применим к ряду признак сходимости Даламбера и рассмотрим предел:

.

Если , то исходный ряд сходится абсолютно, т.е. при 2 или на интервале .

Если , то ряд расходится, т.е. при .

Проверим сходимость на концах интервала сходимости.

При получаем числовой ряд:

.

Это знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница неабсолютно (см. пример 9).

При получаем гармонический ряд:

,

который расходится.

Окончательный ответ: ряд сходится при .

Пример 13. Определить область сходимости ряда:

.

Решение. Применим к ряду признак сходимости Даламбера и рассмотрим предел:

.

Исходный ряд сходится абсолютно, если , то есть при . Ряд расходится, если , то есть при .

Рассмотрим поведение ряда на концах интервала сходимости.

При получаем числовой ряд: .

Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака сходимости Лейбница: и . Поэтому ряд сходится (сходится условно, т.к. ряд расходится, а умножение всех членов ряда на постоянное число, отличное от нуля, не меняет его сходимости).

При получаем такой же сходящийся ряд:

.

Окончательный ответ: ряд сходится при .

Пример 14. Определить область сходимости ряда .

Решение. Рассмотрим предел:

.

Неравенство выполняется при всех значениях , поэтому область сходимости ряда .

Дата добавления: 2015-07-11