Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Читайте также:
  1. I. Дифференциальное уравнение вида
  2. II этап – знакомство с уравнением и овладение способом его решения.
  3. II. Дифференциальное уравнение вида
  4. II. Положительное согласование порядка и прогресса
  5. quot;ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБЩЕСТВЕННОГО ПОРЯДКА
  6. Вести первого и второго ангелов
  7. Виды рейсов и их характеристика. Уравнение времени рейса

Дифференциальные уравнения этого типа представляются в виде:

, (12)

где - постоянные числа.

Будем искать решение уравнения (12) в виде , где постоянное число. После подстановки этого выражения в (12) получим:

.

 

Поскольку , должно выполняться квадратное уравнение:

. (13)

 

Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (12). В зависимости от величины его дискриминанта возможны три случая:

а) .

Можно показать, что общим решением в этом случае является комбинация двух линейно-независимых решений, отвечающих двум различным корням характеристического уравнения:

 

. (14)

б) .

В этом случае общим решением будет:

 

. (15)

 

в) . В этом случае характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня: и

Общее решение записывается в следующем виде:

 

. (16)

 

В формулах (14)–(16) и произвольные постоянные.

Пример6. Решить дифференциальное уравнение: ;

Решение. Характеристическое уравнение принимает вид: ; Дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня: . Тогда, согласно (14), общее решение дифференциального уравнения записывается в виде:

.

Пример7. Решить дифференциальное уравнение: ;

Решение. Характеристическое уравнение имеет один кратный корень ; В соответствии с (15) общее решение дифференциального уравнения записывается в виде:

.

Пример8. Решить дифференциальное уравнение:

.

Решение. Дискриминант характеристического уравнения отрицателен, характеристическое уравнение имеет комплексные корни: В этом случае формула (16) дает следующее общее решение дифференциального уравнения:

.


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 74 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ТЕМА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ | Интегрирование по частям в неопределенном интеграле | Интегрирование рациональных дробей | Интегрирование тригонометрических функций | ТЕМА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ | Замена переменной в определенном интеграле | Объем тела вращения | ТЕМА 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ | Однородное уравнение первого порядка | Линейное уравнение первого порядка |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Уравнение Бернулли| Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными ко­эффициентами

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)