Рівняння провисання вільно підвішеного проведення

Якщо проведення з постійною площею перетину підвісити між двома крапками, розташованими на одному рівні, то під дією рівномірно розподіленої по його довжині навантаження від ваги проведення прийме обрис ланцюгової лінії (Рисунок 14.1). Твердість проводів і тросів позначається тільки при невеликих (порядку декількох метрів) відстанях між крапками їхнього прогину. У більших прольотах твердістю проводів і тросів зневажають і розглядають їх як гнучкі нитки.

Відстань по горизонталі між крапками підвісу А і В називають прольотом і позначають буквою l. Відстань по вертикалі в середині прольоту між проведенням і прямою АВ, що з'єднує крапки підвісу, називають стрілою прогину й позначають буквою ƒ. Обидві величини вимірюють у метрах.

Зусилля, що діє уздовж проведення, називають натягом і позначають буквою Т. Натяг у проводах, розглянутих

Рисунок 14.1. Провисання проведення в прольоті: а — ланцюгова лінія; б — парабола

як гнучкі нитки, які не можуть сприймати згинальні моменти, обумовлено тільки розтяганням і спрямовано по дотичній і кривій провисання нитки в розглянутій крапці прольоту. Натяг у нижчій крапці кривій провисання проводів буде спрямовано горизонтально, його позначають буквою Н.

При розрахунках гнучких ниток з малими стрілами прогину вважають, що вертикальне навантаження розподілене рівномірно не по довжині самої нитки (див. Рисунок 14.1, а), а по горизонтальній проекції нитки (див. Рисунок 14.1, б); нитка з таким навантаженням провисає по параболі. Таке допущення викликає малі погрішності й у той же час дає можливість значно спростити розрахунок.

Натяг проведення Т змінюється в прольоті від найменшого значення Т =Н у нижчій крапці прогину проведення до найбільшого значення в опор, рівного

Тому що V = 0,5 ql, то

Проведення й троси контактних мереж залізниць являють собою гнучкі нитки, що мають малі стріли прогину стосовно довжини прольоту. У таких нитках значення максимального натягу Т мало відрізняється від натягу нитки Н. Якщо, наприклад, ƒ/ l = 1/40, то різниця в натягу буде становити всього 0,5 %. Тому при розрахунку ниток з малими стрілами прогину (їх ще іноді називають пологими нитками) часто вважають, що натяг нитки постійно й дорівнює Н.

Силу, що діє на одиницю площі перетину проведення, називають напругою й позначають буквою а. Відповідно до визначення σ = HIS (тут S — площа перетину проведення).

Представимо гнучку нитку з опорами, розташованими на одному рівні, навантажену довільним вертикальним навантаженням, розподіленої по довжині горизонтальної проекції нитки (Рисунок 14.2, а). Показані на цьому малюнку реакції визначимо на підставі рівнянь статики. Так, сума проекцій всіх сил на горизонтальну вісь, Σ_х = НА + Н _В= 0, звідки треба НА + Н _В = Н.

Рисунок 14.2. Розрахункові схеми гнучкої нитки: а — навантаженої довільної вертикальної

навантаженням; б — балкові реакції

Суми моментів всіх сил щодо опор В і А:

У цих рівняннях Σ М _q — моменти діючих на нитку всіх зовнішніх заданих сил q_x щодо опор В і А.

З вищенаведених рівнянь одержимо відповідно:

У випадку визначення реакцій балки, показаної на Рисунок 14.2, б, навантаженої точно так само, як нитка, і маючий такий же проліт, отримані такі ж реакції. Таким чином, вертикальних складових опорних реакцій нитки дорівнюють опорним реакціям у простій балці АВ, навантаженої точно так само, як задана нитка. Подібні реакції будемо надалі називати балковими.

Розглянемо деякий перетин нитки в крапці С на відстані х від лівої опори. Ордината цього перетину дорівнює в (див. Рисунок 14.2, а). Оскільки нитка передбачається абсолютно гнучкої, момент всіх сил, що діють на неї по одну сторону від перетину, повинен рівнятися нулю, тобто

де М_х — сума моментів всіх вертикальних сил (включаючи й опорну реакцію), розташованих левее перетину З;

Н — натяг нитки;

в — прогин нитки в крапці С.

Момент М_х являє собою не що інше, як згинальний момент М_х у відповідному перетині простої балки. Подібні моменти будемо надалі називати балковими. Рівняння може бути переписане у вигляді М_х = Ну, звідки маємо

Ця формула представляє рівняння провисання гнучкої нитки. За допомогою цього рівняння можна знайти прогин нитки в будь-якому її перетині, можна також визначити натяг нитки, якщо відомо її прогин у якомусь перетині:

Рисунок 14.3. Розрахункові схеми гнучкої нитки: а — навантаженої рівномірно розподіленої по прольоті навантаженням; б — балкові реакції

Розглянемо одну з найпоширеніших завдань у теорії гнучких ниток — завдання про визначення стріли прогину й натягу симетричної нитки від навантаження q, рівномірно розподіленої по всьому прольоті (Рисунок 14.3, а). Для цього випадку балкові реакції V_A і V_B рівні (Рисунок 14.3, 6), тобто V_A = V_B = 0,5 q.

Балковий згинальний момент М_х у перетині нитки на відстані х від опори А

Підставивши це значення М_х, одержимо рівняння провисання (рівноваги) вільно підвішеного проведення:

Для х = 0,5 l величина в =f. Тоді чи

Довжина проведення в прольоті може бути визначена по формулі довжини параболи. Довжина відрізка однієї галузі параболи від вершини Про до крапки з координатами (х, у)

Для однієї галузі параболи, зображеної на Рисунок 14.1, б, при х = 0,5 l й y= f одержимо

довжина обох галузей параболи, тобто довжина проведення в прольоті

У деяких випадках користуються формулою для визначення

довжини проведення, у яку входить не стрілаƒ, а величини q і Н:

Вираження для розрахунку натягу вільно підвішеного проведення в опор:

Дата добавления: 2015-07-11