Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

В некоторых случаях требуется определить вероятность появления некоторого события A, которое может наступить лишь при появлении одного события из некоторой группы несовместных событий. В таком случае определение искомой вероятности возможно с привлечением следующей теоремы.

Теорема полной вероятности. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

.

Пример 20.

Среди стрелковой команды, находясь в оптимальной форме, первый номер попадает в цель с вероятностью 0,9, второй 0,8, а третий 0,7. Вероятность того, что на конкретные соревнования поедет первый, второй или третий стрелок равна: 0,6, 0,7 и 0,5 соответственно. Найти вероятность того, поехавший стрелок попадет в цель.

Решение.

Пусть событие A – попадание стрелка в цель. События – поездка на соревнования первого второго или третьего стрелка. Известны вероятности попадания стрелков в цель в случае их участия в соревнованиях , , .Вероятность поездки стрелков на соревнования соответственно равны: , , . Для нахождения вероятности того, что поехавший стрелок попадет в цель воспользуемся формулой полной вероятности:

.

Ответ.

Вероятность того, что поехавший стрелок попадет в цель равна .

Если события А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий образующих полную группу, то события называют гипотезами, т.к. заранее не известно какое равна из событий наступит. Если же событие А уже произошло, но необходимо определить в результате выполнения какой гипотезы это случилось, то можно воспользоваться формулой Бейеса. Сама формула выводится из формулы условной и полной вероятности:

Пример 21.

В условиях примера 11 с учетом того, что стрелок попал в цель определить вероятность того, что на этих соревнованиях участвовал первый номер.

Решение.

Необходимо определить , это можно сделать по формуле Бейеса.

Ответ.

Вероятность того, что на соревнования ездил именно первый номер из команды равна .

Примеры для самостоятельного решения.

1.

2.

3.

Дата добавления: 2015-07-14