Условная вероятность. Сложение и умножение вероятности.

Ранее ведя разговор о вероятности конкретного события мы с вами понимали ее как числовую функцию определенную на поле событий данного эксперимента и не зависящую ни от каких дополнительных условий кроме фиксированного комплекса условий которым характеризуется эксперимент. Такую вероятность принято называть безусловной.

Представим теперь себе случай, при котором в результате эксперимента можно наблюдать одновременно два события A и B, причем , тогда условной вероятностью события B, при условии, что событие A произошло в результате данного эксперимента, называется некоторая величина . Говорить об этой величине можно как о вероятности события B, при условии A.

С введением данного определения становиться возможным сформулировать теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления .

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило .

Из теоремы умножения вероятностей в частности следует, что условная вероятность может быть вычислена по формуле

Рассмотрим примеры нахождения условной вероятности.

Пример 18.

Известно, что четыре из десяти снарядов зенитного орудия попадают в цель, вероятность сбить самолет составляет 20%. Найти вероятность того, что при попадании в самолет он будет сбит.

Решение.

Пусть событие A – попадание в самолет, событие B – самолет сбит. Необходимо найти . Поскольку четыре из десяти снарядов зенитного орудия попадают в цель, то . Так как вероятность попасть в самолет и сбить его равна 20%, то . По формуле вычисления условной вероятности .

Ответ.

Вероятность того, что при попадании в самолет он будет сбит равна .

Пример 19.

В семье двое детей. Считая, что рождение мальчика и девочки – независимые и равновероятные события, необходимо вычислить вероятность того, что оба ребенка – мальчики, если известно, что один мальчик в семье точно есть.

Решение.

Пусть событие A – в семе есть хоть один мальчик, событие B – оба ребенка в семье мальчики. Необходимо найти . Для решения данной задачи необходимо найти и . Найдем , очевидно, что используем правило “и – или” (первый мальчик и второй мальчик) . Для нахождения используем формулу , т.к. событие – неверно что в семе есть хоть один мальчик, можно трактовать как, оба ребенка в семье девочки. Очевидно (рассуждая аналогично случаю , имеем) . С учетом проделанных рассуждений по формуле вычисления условной вероятности .

Ответ.

Вероятность того, что оба ребенка – мальчики, если известно, что один из детей в семье точно мальчик равна

Примеры для самостоятельного решения.

1.

2.

3.

Дата добавления: 2015-07-14