Классическое определение вероятности.

Вероятность это – количественная характеристика возможности наступления определенного события.

Сами события можно условно разделить на три группы: достоверное, невозможное и случайное.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет. Например – пройдет весна, наступит лето.

Невозможным называется событие, которое не может произойти ни при каких обстоятельствах. Например – вытащить красный шар из ящика, в котором находятся только белые и черные шары.

Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти, причем об этом нельзя сказать ничего определенного. Например – выпадение решки при бросании монетки.

В обыденной жизни, в основном говоря о вероятности, традиционно измеряя ее в процентах, однако, при формализации, в классической теории было принято измерять ее в долях. Таким образом, вероятность это – количественная характеристика возможности наступления определенного события, которая может изменяться в пределах от нуля до единицы.

В 1933 году Колмогоровым А.Н. была представлена аксиоматическая теория вероятности.

1. Каждому событию ставиться в соответствие неотрицательное действительное число , которое называется вероятностью события .

2. Вероятность достоверного события равна единице

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равно сумме вероятностей этих событий.

Интерес представляет определение вероятности некоторого, случайного события, ведь в силу того что, случайное событие есть следствие многочисленных причин, учесть все из которых попросту неосуществимо, то его вероятность в общем случае определить не представляется возможным, и он может изменяться в пределах от нуля до единицы.

Необходимо отметить, что теория вероятности вовсе не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное случайное событие или нет (однозначное решение такой задачи в подобной интерпретации попросту невозможно). Она, теория вероятности, рассматривает лишь неоднократно повторяемые случайные события, которые имеется возможность наблюдать при осуществлении одних и тех же условий. Установлено, что если рассматривать достаточно большое число однородных случайных событий, то оказывается, что независимо от их конкретной природы они подчиняются определенным закономерностям. Установлением этих закономерностей как раз и занимается теория вероятностей.

Вернемся теперь к вопросу определения вероятности. Еще раз оговоримся, рассматривать будем лишь те случайные события, которые можно повторить или воспроизвести в результате эксперимента. Для начала рассмотрим виды случайных событий.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других при проведении одного испытания (выпадение двух, трех, четырех и пяти очков на кубике).

События образуют полную группу если, все они попарно несовместны и в результате испытания произойдет хотя бы одно из них (выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти или шести очков при бросании игральной кости).

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них более вероятно, чем другие. (В этом определении безусловно присутствует некий произвол, который позволяет в некоторых случаях получать различные, но правильные ответы при решении одной и той же задачи.) Очевидно, что появление ровно одного из событий, образующих полную группу, есть событие достоверное.

Как мы уже говорили результат случайного события может быть получен либо из какого то счетного множества, т.е. множество элементы которого можно перечислять один за другим по какому либо правилу (например множество парт в аудитории или множество натуральных чисел), в этом случае случайную величину являющуюся результатом случайного события называют дискретной. В случае же невозможности задать правило перечисления результатов случайного события (например множество точек на отрезке) случайную величину являющуюся результатом случайного события называют непрерывной.

Для начала рассмотрим простейший случай, который состоит в следующем: задано множество элементарных исходов (т.е. множество равновозможных событий, которые образуют полную группу). В этом случае вероятностью события , обозначается , называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу исходов.

(5)

– общее число элементарных исходов,

– число исходов, при которых происходит событие .

Еще раз подчеркнем, что данная формула имеет место только в том случае, если все событий являются равновозможными и образуют полную группу.

Данная формула очень важна и имеет самое широкое применение. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 6.

Найдем вероятность того, что при броске монеты выпадет решка.

Решение.

Общее число элементарных исходов равно двум, т.к. выпасть может либо герб, либо решка. Мы априори предполагаем, что вероятности обоих этих событий одинаковы и очевидно, что два этих события образуют полную группу. Таким образом, становится возможным применение формулы (1). Общее число элементарных исходов равно двум, число исходов, при которых произойдет событие (выпадение решки) равно единице. .

Ответ.

Вероятность того, что при броске монеты выпадет решка равно 0,5.

Пример 7.

Найдем вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число очков.

Решение.

Общее число элементарных исходов равно шести, т.к. выпасть может 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Мы априори предполагаем, что вероятности этих событий одинаковы и очевидно, что они образуют полную группу. Таким образом становится возможным применение формулы (1). Общее число элементарных исходов равно шести, число исходов, при которых произойдет событие (выпадение четного числа очков) равно трем (может выпасть 2, 4 или 6). .

Ответ.

Вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число очков равно 0,5.

Пример 8.

Найдем вероятность того, что из урны, в которой 6 белых и 9 черных шаров, наудачу вытащенный шар оказался белым.

Решение.

Общее число элементарных исходов равно пятнадцати, т.к. всего в урне находятся 15 шаров (6 белых и 9 черных). Учитывая что число исходов благоприятствующих тому что наудачу вытащенный шар оказался белым равно шести применение формулы (1) дает нам: .

Ответ.

Вероятность того, что из урны, в которой 6 белых и 9 черных шаров, наудачу вытащенный шар оказался белым равно 0,4.

Пример 9.

Найдем вероятность того, что из колоды в 36 карт, наудачу вытащенная карта окажется крестовой масти.

Решение.

Общее число элементарных исходов равно тридцати шести. Число исходов благоприятствующих тому, что наудачу вытащенная карта окажется крестовой масти равно девяти (т.к. в колоде 9 карт крестовой масти) применение формулы (1) даст нам: .

Ответ.

Вероятность того, что из колоды в 36 карт, наудачу вытащенная карта окажется крестовой масти равно 0,25.

Примеры для самостоятельного решения.

1. Найдем вероятность того, что из колоды в 36 карт наудачу вытащенная карта окажется тузом. (1/9)

2. Найдем вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков кратное трем. (1/3)

3. Найдем вероятность того, что из урны, в которой 3 белых и 7 черных шаров, наудачу вытащенный шар оказался черным. (7/10)

Отметим, что при решении задач с использованием предложенной формулы основную сложность представляет построение пространства элементарных исходов. От того насколько удачно оно выбрано зачастую зависит ответ при решении конкретной задачи (вспомним анекдот про столкновение с динозавром).

В качестве более серьезных примеров рассмотрим следующую задачу.

Пример 10.

Найдем вероятность того, что при броске двух игральных костей сумма выпавших очков будет равна шести.

Решение.

Для решения данной задачи необходимо определить пространство элементарных исходов, т.е. выявить их число. Предложим четыре способа решения данной задачи, причем каждый последующий будет учитывать некоторые новые факторы, которые в той или иной степени повлияют на решение.

1. Общее число элементарных исходов равно двум, т.к. выпасть может шесть очков или не шесть очков. Мы априори предполагаем, что вероятности этих событий одинаковы и очевидно, что они образуют полную группу. Таким образом, становится возможным применение формулы (1). Общее число элементарных исходов равно двум, число исходов, при которых произойдет событие (выпадение шести очков) равно одному. .

2. В отличие от предыдущего решения, сообразуясь со здравым смыслом, отметим, что не шесть очков может выпасть несколькими способами (может выпасть 5 или 9 очков). В связи с этим предложим следующее решение. Общее число элементарных исходов равно одиннадцати, т.к. выпасть может 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 или 12 очков. Мы априори предполагаем, что вероятности этих событий одинаковы и очевидно, что они образуют полную группу. Таким образом, становится возможным применение формулы (1). Общее число элементарных исходов равно одиннадцати, число исходов, при которых произойдет событие (выпадение шести очков) равно одному. .

3. В отличие от предыдущего решения, сообразуясь со здравым смыслом, отметим, что два очка может выпасть лишь в том случае если на обоих игральных костях по единице, в то время как при выпадении шести очков комбинаций выпавших чисел на кубиках больше (1 и 5; 2 и 4; 3 и 3). В связи с этим предложим следующее решение. Общее число элементарных исходов равно двадцати одному, т.к. выпасть может 1 и 1; 1 и 2; 1 и 3; 1 и 4; 1 и 5; 1 и 6; 2 и 2; 2 и 3; 2 и 4; 2 и 5; 2 и 6; 3 и 3; 3 и 4; 3 и 5; 3 и 6; 4 и 4; 4 и 5; 4 и 6; 5 и 5; 5 и 6; 6 и 6. Мы априори предполагаем, что вероятности этих событий одинаковы и очевидно, что они образуют полную группу. Таким образом, становится возможным применение формулы (1). Общее число элементарных исходов равно двадцати одному, число исходов, при которых произойдет событие (выпадение шести очков) равно трем (1 и 5; 2 и 4; 3 и 3). .

4. В отличие от предыдущего решения, сообразуясь со здравым смыслом, отметим, что 2 и 2 может выпасть лишь в том случае если на обоих игральных костях по двойке, в то время как при выпадении 2 и 3 возможно что на первой кости выпало 2, а на второй 3 или же наоборот, на первой кости выпало 3, а на второй 2. Таким образом, очевидно, что количество комбинаций при выпадениях различных сочетаний чисел на игральных костях не одинаковы. В связи с этим предложим следующее решение. Общее число элементарных исходов равно тридцати шести (в этом случае будем различать отдельно первую и вторую игральные кости), т.к. выпасть может 1 и 1; 1 и 2; 1 и 3; 1 и 4; 1 и 5; 1 и 6; 2 и 1; 2 и 2; 2 и 3; 2 и 4; 2 и 5; 2 и 6; 3 и 1; 3 и 2; 3 и 3; 3 и 4; 3 и 5; 3 и 6; 4 и 1; 4 и 2; 4 и 3; 4 и 4; 4 и 5; 4 и 6; 5 и 1; 5 и 2; 5 и 3; 5 и 4; 5 и 5; 5 и 6; 6 и 1; 6 и 2; 6 и 3; 6 и 4; 6 и 5; 6 и 6. Мы априори предполагаем, что вероятности всех представленных событий одинаковы и очевидно, что они образуют полную группу. Таким образом, становится возможным применение формулы (1). Общее число элементарных исходов равно тридцати шести, число исходов, при которых произойдет событие (выпадение шести очков) равно пяти (1 и 5; 2 и 4; 3 и 3; 4 и 2; 5 и 1). .

Ответ.

Мы наглядно показали что вероятность того, что при броске двух игральных костей сумма выпавших очков будет равна шести сильно зависит от того насколько удачно выбрано пространство элементарных исходов и может равняться , , или .

Забегая несколько вперед, отметим, что при решении некоторых задач количество благоприятствующих элементарных исходов бывает достаточно большим, что создает определенные технические неудобства. В таких случаях бывает удобно воспользоваться следующим рассуждением.

Пусть – есть некоторое событие, тогда будем обозначать событие, состоящее в не наступлении события . Очевиден тот факт что события и образуют полную группу, как следствие этого

Пример 11.

Найдем вероятность того, что при броске двух игральных костей сумма выпавших очков будет больше двух.

Решение.

Для решения данной задачи пространство элементарных исходов возьмем такое же, как в примере 5 пункте 4. Однако вместо того чтобы считать количество благоприятствующих элементарных исходов определим событие состоящее в не наступлении исходного. будет состоять в том, что число выпавших очков при бросании двух игральных костей меньше или равно двум, такой случай всего один (1 и 1). Тогда следовательно .

Ответ.

Вероятность того, что при броске двух игральных костей сумма выпавших очков будет больше двух равна .

Примеры для самостоятельного решения.

1. Брошены три монетки, найти вероятность того, что выпала хотя бы одна решка .

2. На шахматную доску случайным образом ставятся две ладьи белую и черную. Какова вероятность того, что они не побьют друг друга .

3.

4.

5.

6.

В некоторых случаях определение общего и благоприятствующего количество исходов представляет само по себе достаточно сложную задачу. Связанно это с большим количеством вариантов которые необходимо рассмотреть для полного определения множества элементарных исходов и множества благоприятствующих исходов. Поскольку нет необходимости в непосредственном перечислении всех исходов, а необходимо лишь определить их количество, то задача определения общего и благоприятствующего количества исходов может быть решена отдельно. Решением такого рода задач занимается специальный раздел математики – комбинаторика.

Дата добавления: 2015-07-14