Правило трех сигм

Преобразуем формулу (6.20).

Пусть , тогда .

Если , то , тогда: .

Это значит, что 68 % значений случайной величины находятся на промежутке .

Если , то , тогда: .

Это значит, что 95 % значений случайной величины находятся на промежутке .

И последнее: , имеем:

.

Отсюда правило трех сигм: нормально распределенная случайная величина принимает все свои значения на промежутке с достоверностью приблизительно равной .

То есть, из значений нормально распределенной случайной величины лишь выйдут за пределы интервала .

Пример 7. На станке изготавливают шары, диаметр которых является случайной величиной , распределенной по нормальному закону, имеющей среднее значение мм и мм. Какие размеры диаметра шаров можно гарантировать с надежностью ?

Решение.

По условию задачи , .

То есть, , , .

При изучении распределений, которые отличаются от нормального, возникает необходимость оценить это отличие. С этой целью вводят такие характеристики, как асимметрия и эксцесс. Для нормального распределения асимметрия и эксцесс равны нулю. Большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального распределения, при малых значениях асимметрии и эксцесса можно допустить близость этого распределения к нормальному.

Асимметрией распределенияназывают величину:

, (6.21)

где – центральный момент третьего порядка;

– среднее квадратическое отклонение.

Асимметрия характеризует отклонение кривой распределения от центра симметрии нормального распределения , то есть моды. Если , то максимум функции отходит влево; если – вправо, при этом значение максимума сохраняется (рис. 4).

Рис. 4. Асимметрия распределения

Эксцессом распределенияназывают величину:

, (6.22)

где – центральный момент четвертого порядка.

Эксцесс распределения характеризует смещение максимума кривой распределения вдоль оси симметрии (рис. 5).

Рис. 5. Эксцесс распределения

Пример 8. Дано , , . Найти .

Решение.

Асимметрия: .

Эксцесс: .

Можно сказать, что кривая распределения будет отходить влево () относительно и максимум будет меньше, чем у кривой нормального распределения ().

Нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике.

Если , где – независимые случайные величины, , , , то

, то есть

. (6.23)

Содержание формулы (6.23) таково: с вероятностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр с надежностью и точностью оценки . Оценку называют классической.

Из формулы , которая определяет точность классической оценки, можно сделать выводы:

1) с ростом число убывает, то есть точность оценки увеличивается;

2) увеличение вероятности приводит к росту параметра ( – возрастающая функция) и тем самым к росту .

То есть, увеличение вероятности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Дата добавления: 2015-07-14