Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, если плотность распределения:

с параметром . (6.8)

Проверим, что функция, которая задана в таком виде, удовлетворяет свойствам дифференциальной функции распределения.

Действительно и

.

Интегральная функция показательного распределения имеет вид: .

Окончательно:

(6.9)

Графики функций и приведены на рис. 2.

Рис. 2. Графики дифференциальной и интегральной функций показательного распределения

Вероятность попадания случайной величины в интервал определяется формулой:

. (6.10)

Вычислим числовые характеристики показательного закона распределения.

Математическое ожидание :

.

(6.11)

Дисперсия :

.

(6.12)

Среднее квадратическое отклонение :

. (6.13)

Отметим, что при показательном распределении математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению: .

Пример 2. Среднее время обслуживания покупателя составляет минут и распределено по показательному закону. Какова вероятность простоять в очереди от до минут?

Решение.

, .

.

Функцией, которая определяет вероятность безотказной работы элемента за промежуток времени длиной , является функциянадежности : . События и противоположные. Функция распределения определяет вероятность отказа элемента за время длиной .

Таким образом, для показательного распределения:

, (6.14)

где – интенсивность отказов.

Пример 3. Случайная величина – время работы лампы накаливания имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет составлять не меньше часов, если среднее время работы лампы часов.

Решение.

, тогда , .

.

Дата добавления: 2015-07-14