Читайте также:
|
|
Визначений інтеграл має чисельні застосування у багатьох галузях знань – у геометрії, фізиці, механіці, хімії, біології, економіці та інших. Тут ми розглянемо застосування визначеного інтеграла для розв’язання деяких геометричних задач.
1. Обчислення площ плоских фігур у прямокутній декартовій системі
координат.
Розглянемо фігуру, яка обмежена графіками функцій та ,де – неперервні на відрізку функції, на відрізку , а також вертикальними прямими (рис. 8.6).
Виходячи з геометричного змісту визначеного інтеграла, можемо стверджувати, що площа фігури ABCD дорівнює різниці площ двох криволінійних трапецій:
. (14.1)
Рис. 8.
Приклади.
1. Обчислити площу фігури, яку обмежено лініями (рис. 9).
Рис. 9.
На підставі формули (14.1) маємо:
.
2. Обчислити площу фігури, яку обмежено графіками функцій , (рис. 10).
Рис. 10.
Знайдемо спочатку межі інтегрування, як абсциси точок перетину графіків функцій , . Дорівняємо:
Або . Розв’язуючи це квадратне рівняння, отримаємо:
.
Отже
.
2. Обчислення площі фігури, обмеженої лініями, які задані параметрично.
Нехай криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою параметрично:
,
де – неперервні і неперервно диференційовні на проміжку функції. Якщо функція монотонна на і , , то площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою:
. (14.2)
Приклад. Обчислити площу, обмежену еліпсом , (рис. 11).
Рис. 11.
Очевидно, що шукана площа може бути знайдена як помножена на 4 площа її частини, що розташована у першому квадранті, адже еліпс – фігура, яка симетрична відносно обох координатних осей. Для цієї частини маємо:
, . Тому:
.
3. Обчислення площі фігури у полярній системі координат.
Розглянемо фігуру , обмежену кривою, заданою у полярній системі координат і променями (рис. 12).
Рис. 12.
Така фігура називається криволінійним сектором. Обчислимо його площу. Розіб’ємо відрізок довільно обраними точками
на частинні відрізкі . Фактично це означає, що кут ми розбили на частинні куточки. На кожному з відрізків оберемо довільну точку . І на кожному з частинних відрізків (куточків) побудуємо круговий сектор, який обмежено променями і дугою кола (рис. 13).
Рис. 13.
Площа цього сектора дорівнює:
, де . Сума є інтегральною сумою для функції на відрізку . Отже
.
Таким чином площа криволінійного сектора обчислюється за формулою:
. (14.3)
Приклад. Обчислити площу, обмежену кардіоїдою (рис. 14)
Рис. 14.
Кардіоїда – це траєкторія точки на колі, яке котиться по іншому колу того ж радіуса. Назва цієї лінії походить від грецького слова – серце, її форма нібито нагадує серце. Правда, декому щось інше.
Фігура, обмежена кардіоїдою, симетрична відносно осі , тому її площу можна обчислити як подвоєну площу її верхньої частини. Для неї , тому
.
Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 544 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Приклади дослідження невласних інтегралів на абсолютну та умовну збіжність. | | | Обчислення довжин дуг кривих ліній. |