Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Обчислення площ плоских фігур.

Читайте также:
  1. Вычисление площадей плоских фигур
  2. Вычисление площадей плоских фигур
  3. Два примера задач о распаде произвольного разрыва для случая плоских волн.
  4. Задача Коши для волнового уравнения в случае плоских волн.
  5. Задача о поршне в акустической постановке для случая плоских волн.
  6. Задача об отражении акустической ударной волны от абсолютно твердой (жесткой) стенки для случая плоских волн.
  7. КРОВЛЯ ИЗ ПЛОСКИХ АСБЕСТОЦЕМЕНТНЫХ ПЛИТОК

Визначений інтеграл має чисельні застосування у багатьох галузях знань – у геометрії, фізиці, механіці, хімії, біології, економіці та інших. Тут ми розглянемо застосування визначеного інтеграла для розв’язання деяких геометричних задач.

1. Обчислення площ плоских фігур у прямокутній декартовій системі

координат.

Розглянемо фігуру, яка обмежена графіками функцій та ,де – неперервні на відрізку функції, на відрізку , а також вертикальними прямими (рис. 8.6).

Виходячи з геометричного змісту визначеного інтеграла, можемо стверджувати, що площа фігури ABCD дорівнює різниці площ двох криволінійних трапецій:

 

. (14.1)

Рис. 8.

 

Приклади.

1. Обчислити площу фігури, яку обмежено лініями (рис. 9).

Рис. 9.

На підставі формули (14.1) маємо:

.

2. Обчислити площу фігури, яку обмежено графіками функцій , (рис. 10).

Рис. 10.

 

Знайдемо спочатку межі інтегрування, як абсциси точок перетину графіків функцій , . Дорівняємо:

Або . Розв’язуючи це квадратне рівняння, отримаємо:

.

Отже

.

2. Обчислення площі фігури, обмеженої лініями, які задані параметрично.

Нехай криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою параметрично:

,

де – неперервні і неперервно диференційовні на проміжку функції. Якщо функція монотонна на і , , то площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою:

. (14.2)

Приклад. Обчислити площу, обмежену еліпсом , (рис. 11).

Рис. 11.

 

Очевидно, що шукана площа може бути знайдена як помножена на 4 площа її частини, що розташована у першому квадранті, адже еліпс – фігура, яка симетрична відносно обох координатних осей. Для цієї частини маємо:

, . Тому:

.

 

3. Обчислення площі фігури у полярній системі координат.

Розглянемо фігуру , обмежену кривою, заданою у полярній системі координат і променями (рис. 12).

Рис. 12.

 

Така фігура називається криволінійним сектором. Обчислимо його площу. Розіб’ємо відрізок довільно обраними точками

на частинні відрізкі . Фактично це означає, що кут ми розбили на частинні куточки. На кожному з відрізків оберемо довільну точку . І на кожному з частинних відрізків (куточків) побудуємо круговий сектор, який обмежено променями і дугою кола (рис. 13).

 

Рис. 13.

 

Площа цього сектора дорівнює:

, де . Сума є інтегральною сумою для функції на відрізку . Отже

.

Таким чином площа криволінійного сектора обчислюється за формулою:

. (14.3)

Приклад. Обчислити площу, обмежену кардіоїдою (рис. 14)

Рис. 14.

 

Кардіоїда – це траєкторія точки на колі, яке котиться по іншому колу того ж радіуса. Назва цієї лінії походить від грецького слова – серце, її форма нібито нагадує серце. Правда, декому щось інше.

Фігура, обмежена кардіоїдою, симетрична відносно осі , тому її площу можна обчислити як подвоєну площу її верхньої частини. Для неї , тому

.

 


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 544 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. | Означення та умови існування визначеного інтеграла. | Властивості визначеного інтеграла. | Формула Ньютона–Лейбніца. | Заміна змінної та інтегрування за частинами у визначеному інтегралі. | Невласні інтеграли I роду. | Невласні інтеграли II роду. | Ознаки збіжності невласних інтегралів. I. | Ознаки збіжності невласних інтегралів. II. | Обчислення об’ємів тіл. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Приклади дослідження невласних інтегралів на абсолютну та умовну збіжність.| Обчислення довжин дуг кривих ліній.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)