Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Невласні інтеграли I роду.

Читайте также:
  1. Інтегрування ірраціональних функцій. Інтеграли, що містять .
  2. Найпростіші інтеграли, що містять квадратний тричлен.
  3. Невласні інтеграли II роду.
  4. Помилки першого та другого роду.

Поняття визначеного інтеграла Рімана, як ми бачили, має зміст для скінченного проміжку і для обмеженої на цьому проміжку функції. Якщо хоч би одна з цих умов не виконана, то інтеграла у власному розумінні не існує. Тому виникає необхідність поширити поняття інтеграла на випадки нескінченного проміжку та необмеженої функції. Відповідно виникають інші поняття – так званих невласних інтегралів I роду (у випадку нескінченного проміжку) та II роду (у випадку необмеженої на проміжку функції). Ми почнемо з поняття невласного інтеграла I роду.

Нехай функція визначена на проміжку і інтегровна на будь якому відрізку , де .

Означення. Невласним інтегралом I роду від функції на проміжку називається границя

. (8.1)

 

Якщо ця границя існує та скінченна, інтеграл (8.1) називається збіжним, у протилежному випадку – розбіжним.

Таким чином невласний інтеграл I роду не є границею інтегральних сум, а є границею визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею.

З геометричної точки зору він виражає площу необмеженої області (рис. 5).

 

 

Рис. 5.

Аналогічно означається невласний інтеграл I роду на проміжку :

(8.2)

А також можливі невласні інтеграли з обома нескінченними межами:

, (8.3) де – довільне число. Інтеграл у лівій частині формули (8.3) збігається тоді і тільки тоді, коли незалежно один від одного збігаються обидва інтеграли у правій частині цієї формули.

 

Приклади.

1. Дослідити на збіжність та у випадку збіжності обчислити інтеграл?

.

Маємо:

.

Отже інтеграл збіжний, і його значення дорівнює .

2. Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

.

Відомо, що функція не має границі при . Отже даний інтеграл розбіжний.

3. Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

.

Отже даний інтеграл розбіжний (границя існує, але вона нескінченна).

4. .

Даний інтеграл збіжний, і його значення дорівнює 1.

5. Визначимо, для яких значень параметра збігається інтеграл:

.

У випадку маємо:

, тобто інтеграл розбіжний.

Якщо , то

, отже інтеграл збіжний.

Якщо , то

, і інтеграл розбіжний. Таким чином є збіжним, коли , і розбіжним, коли .

 


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 201 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. | Означення та умови існування визначеного інтеграла. | Властивості визначеного інтеграла. | Формула Ньютона–Лейбніца. | Ознаки збіжності невласних інтегралів. I. | Ознаки збіжності невласних інтегралів. II. | Приклади дослідження невласних інтегралів на абсолютну та умовну збіжність. | Обчислення площ плоских фігур. | Обчислення довжин дуг кривих ліній. | Обчислення об’ємів тіл. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Заміна змінної та інтегрування за частинами у визначеному інтегралі.| Невласні інтеграли II роду.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)