Найпростіші інтеграли, що містять квадратний тричлен.

Серед табличних інтегралів є такі:

, .

Покажемо, що до одного з них можна звести інтеграли вигляду:

– сталі.

Дійсно, виділимо у знаменнику підінтегрального дробу повний квадрат:

.

Далі можлива одна з 3-х ситуацій.

1) . Тоді інтеграл набуває вигляду:

.

2) . Тоді, позначивши , матимемо:

.

3) . Тоді, позначивши , матимемо:

.

Зауважимо, що аналогічним чином можна обчислити інтеграли вигляду:

, (6.1)

зводячи їх до одного з інтегралів:

(при ).

(при ).

Перейдемо до прикладів.

1. .

2.

.

3.

.

Розглянемо інтеграл більш загального вигляду:

.

Виділимо у чисельнику підінтегрального дробу похідну його знаменника:

.

Тоді наш інтеграл набуває вигляду:

.

Перший з цих інтегралів дорівнює (згідно з формулою (4.2)), а другий обчислюється наведеним вище способом.

Аналогічно обчислюються інтеграли вигляду:

.

Їх теж можна розбити на два інтеграли, перший з яких має вигляд:

, а другий відноситься до вигляду (6.1).

Розглянемо приклади.

1.

.

2.

.

Інтегрування елементарних дробів.

Елементарними дробами називаються вирази наступного вигляду:

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) .

Тут припускається, що – натуральне число, яке більше 1, а тричлен не має дійсних коренів, тобто його дискримінант .

Розглянемо питання про обчислення інтегралів від цих виразів. Інтеграли від дробів 1), 2) обчислюються дуже просто:

Інтеграли від дробів 3), 4) були розглянуті у п.6. Зосередимось на інтегруванні дробів 5), 6). У п.6 ми бачили, що відповідною заміною змінної інтеграл від дроба 5) можна звести до інтеграла:

.

Тому розглянемо інтеграл . Застосуємо формулу інтегрування частинами (5.1).

.

Звідси:

. (7.1)

Тобто отримали рекурентну формулу, яка дозволяє зводити інтеграл до інтеграла . Зокрема, якщо , то отримуємо:

.

Враховуючи, що

,

маємо:

. (7.2)

Тепер розглянемо інтегрування дробу 6):

, тобто звели інтеграл до вивченого.

Приклад. Обчислити інтеграл

.

Маємо:

, де

.

Обчислимо останній інтеграл окремо.

.

За формулою (7.1) (при ) маємо:

.

Отже, повертаючись до змінної , отримуємо:

.

З урахуванням цього:

.

Дата добавления: 2015-10-30