Два примера задач о распаде произвольного разрыва для случая плоских волн.

Рассмотрим два примера задач, содержащих сильный разрыв в начальных данных, для случая плоских волн ().

Первая задача. Зададим начальные условия для задачи Коши в виде:

, где , .

Данные начальные условия моделируют покоящийся газ, разделенный на две части перегородкой (разрывом в начальных данных), в левой части задано возмущение давления . При перегородка убирается. Задача найти решение при .

Для построения решения заметим, что вдоль выполнено ,

вдоль выполнено ,

где , и, след., , .

Тогда в области 1: ,

в области 3: , , тогда , . Как видно из решения области 3 и 1 ничего не знают о том, что в начале координат при имел место разрыв начальных данных.

Рассмотрим область 2. Так как для : , а для : , то , .

Интересный факт: чисто формально получается, что при очень большом следует , т. е. предположение о линейности есть сильное и неправильное при ? В нелинейной постановке: для газа с показателем адиабаты имеем, что при . Для жидкости предположение о линейности хорошо работает при до 500 атм. и удовлетворительно до 1000 атм..

Итак, в линейной постановке вправо по газу с нулевым возмущением давления побежит ударная волна сжатия с амплитудой давления , влево по газу с положительным возмущением давления побежит ударная волна разрежения с амплитудой .

Вторая задача. Зададим начальные условия для задачи Коши в виде:

, .

Данные начальные условия моделируют покоящийся газ, разделенный на три части двумя перегородками (разрывы в начальных данных в точках А и В), в центральной части (отрезок АВ) задано возмущение давления . При перегородки убираются. Задача найти решение при .

Для построения решения заметим, что вдоль выполнено ,

вдоль выполнено ,

где , и, след., , .

Тогда в областях 1, 2, 3 будет выполнено: , ;

в областях 6, 5, 3 будет выполнено: , ;

Поэтому в областях 1,3,6: ; ; ;

В обл. 4: , и ;

В обл. 2: , и ;

В обл. 5: , и .

Итак, также, как и в случае гладких решений класса , начальное давление сразу же распадается на две равные половинки . Одна половина движется вправо со скоростью , другая — влево со скоростью . Однако, как и в первой задаче, каждая точка разрыва порождает пару волн. В ударных волнах сжатия и давление в газе повышается на и газ вовлекается в движение вслед за волной со скоростью для прямой волны и для обратной волны. Через время после прохождения ударных волнах сжатия и частицы газа испытывают воздействие ударных волнах разрежения и , после которых давление в газе скачком понижается на до нуля и скорость газа становится равной нулю, т. е. газ возвращается (обл. 3) в исходное невозмущенное состояние (обл. 1,6).

Рассмотренные в качестве примеров задачи имеют большое прикладное и теоретическое значения. Заметим, что если ось заменить абсолютно твердой стенкой, т. е. задать на ней условие , то можно получить новое семейство задач.

Дата добавления: 2015-10-23