Основные соотношения термодинамики. Скорость звука. Число Маха

Как известно из курса термодинамики, основные параметры состоя­ния газа – давления p, плотность ρ и абсолютная температура T, связа­ны для идеальных газов уравнением состояния

pV = R ₀ Tm /m, (4.1)

где V – объем газа; m – его масса; m – молярная масса газа, (кг/моль); R ₀ – универсальная газовая постоянная (R ₀ = 8,314 Дж/(моль·K)).

Если учесть, что удельный объем u газа определяется как V/m и равен 1/r, а R ₀/m = R – газовая постоянная данного газа (Дж/(кг×K)), то уравнение состояния записывается также в форме:

p u = RT или p = r RT. (4.2)

Газовая постоянная R кислорода равна 259,81 Дж/(кг·K), углекис­лого газа – 188,95 Дж/(кг·K), воздуха R _в – 287,1 Дж/(кг·K); R = R _в/D (D – относительная плотность газа по воздуху, равна отношению r_г/r_в плотности r_г газа к плотности r_в воздуха при одинаковых (например, стандартных) условиях, причем (r_в)_ст» 1,204 кг/м³).

В термодинамике обычно рассматривают следующие характерные процессы изменения состояния газа:

изобарный p = const;

изохорный V = const;

изотермический pV = const или p /r = const;

адиабатический pV^k = const, где k = с_p/с_V – показатель адиабаты, опре­деляемый отношением теплоемкостей при постоянном давлении (с_p) и объеме (с_V); для воздуха и двухатомных газов k = 1,4, для перегретого водяного пара k = 1,33, для идеального газа с_p – с_V = R;

политропический pVⁿ = const, где n – некоторая постоянная величина.

При решении большинства задач газодинамики, процессы измене­ния состояния газа можно считать изотермическими, адиабатическими, или, в общем случае, – политропическими. Так, например, движение газа в длинной трубе без теплоизоляции стенок можно рассматривать как изотермическое (длительный контакт со стенками трубы приводит к тому, что температура газа не отличается от температуры стенки); истечение газа из отверстия в резервуаре можно (без существенной погрешности) считать происходящим без теплообмена между выходящим газом и внешней средой, т.е. адиабатическим.

При адиабатическом процессе давление и плотность связаны соотношением:

p/ r ^k = const или p/p ₀ = (r/r₀) ^k, (4.3)

а, используя уравнение состояния (4.2), можно получить для данного процесса следующие соотношения:

. (4.4)

Для политропического процесса k в выражениях (4.4) заменяется n.

Газовая динамика изучает течения газа с большими скоростями, сравнимыми со скоростью звука (а), изменение скорости при которых приводит к изменению плотности.

Процесс измерения параметров газа в звуковой волне, которая представляет собой распространяющиеся в газе слабые возмущения давления и плотности, следует считать адиабатическим.

Для определения скорости звука используют следующую формулу:

. (4.5)

Из уравнения (4.3), обозначив константу как C, имеем:

p = C r ^k; dp = k × C r ^{k– 1} d r; dp/d r = k × C r ^{k– 1} = k p/ r. (4.6)

Подставляя последнее равенство в формулу (4.4), получаем

. (4.7)

Используя уравнение (4.2), введем в формулу для а температуру Т:

. (4.7а)

В частности, для воздуха, подставляя величины k и R, имеем

a = 20,1× T ^1/2.

При температуре 15°C последняя формула дает a = 340 м/с.

Скорость звука – одна из важнейших механических характеристик газа. Законы его движения резко отличаются в зависимости от соотно­шения скорости газа u и скорости звука a. Отношение

M = u/a (4.8)

называют числом Маха. Течения, в которых u < a и M < 1, называются дозвуковыми. Если u > a и Μ > 1, течение – сверхзвуковое.

Дата добавления: 2015-10-29