Область применения СЛАУ в задачах математического моделирования ЭМС.

В линейной алгебре рассматриваются четыре класса основных задач: решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), вычисление определителей, нахождение обратных матриц, определение собственных значений и собственных векторов матриц. Все эти задачи имеют важное прикладное значение при решении различных проблем науки и техники.

Такого рода задачи появляются при решении большого числа технических задач. Расчеты установившихся режимов в электрических схемах в конечном итоге сводятся к составлению и решению СЛАУ. Необходимость решения СЛАУ высоких порядков возникает в процессе реализации алгоритмов решения уравнений в частных производных методами конечных элементов.

Кроме того, задачи линейной алгебры являются вспомогательными при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, обработки результатов экспериментальных исследований. Мы уже сталкивались с необходимостью решать СЛАУ при отыскании канонических интерполяционных полиномов, при решении задач аппроксимации функций с помощью МНК.

Постановка задачи. Необходимо решить СЛАУ вида

(7.1)

где x_k – неизвестные величины; a_ij – заданные элементы расширенной матрицы системы уравнений, известные числовые коэффициенты.

СЛАУ может быть представлена в виде

СЛАУ часто записывают в матричной форме:

где А - матрица коэффициентов системы размерности n x n; b – вектор-столбец свободных членов длиной n; x – вектор-столбец неизвестных длиной n;

При формальном подходе решение этих задач не встречает затруднений: решение системы можно найти, раскрыв определители в формуле Крамера; для нахождения собственных значений матрицы достаточно выписать характеристическое уравнение и найти его корни. Однако эти рекомендации встречают возражения со многих сторон.

Так, при непосредственном раскрытии определителей решение системы с n неизвестными требует порядка n(n+1)n! арифметических операций. Так, например, для вычисления одного определителя при n=100 нужно выполнить 10¹⁵⁷ операций с действительными числами. Такое число операций за приемлемое время не в состоянии выполнить самые могущественные современные суперкомпьютеры, и даже в далекой перспективе это будет невозможно.

Другой причиной, по которой эти классические способы неприменимы даже при малых n, является сильное влияние на окончательный результат округлений при вычислениях. Результат вычислений часто далек от истинного значения из-за влияния вычислительной погрешности. Точно так же обстоит дело при нахождении собственных значений матриц с использованием явного выражения характеристического многочлена.

Для решения СЛАУ применяют в основном два класса методов: прямые и итерационные. Прямые методы являются универсальными и применяются для решения систем сравнительно невысокого порядка (n ~ 200). Итерационные методы выгодно использовать для СЛАУ высокого порядка со слабо заполненными матрицами.

Дата добавления: 2015-10-29