Глобальная Аппроксимация Поверхностей

Пусть нам нужно найти поверхность B-spline, аппроксимирующуюся к (m +1)×(n +1) исходным точкам. Из-за того, что аппроксимирующая поверхность не содержит все исходные точки, то, как и в случае с аппроксимацией кривых, у нас есть контроль над степенью и количеством контр. точек. Таким образом, в добавок к исходным точкам, входными данными являются также степени p и q в направлениях u и v, и количество рядов e +1 и столбцов f +1 контр. точек. Как в случае с кривыми, входные значения должны удовлетворять условию m > e >= p >= 1 и n > f >= q >= 1, чтобы было возможно найти решение. С этой информацией, искомая поверхность B-spline степени (p, q), определенная по (e +1)×(f +1) неизвестным контр. точкам p _ij имеет следующий вид:

Так как имеется m +1 рядов исходных точек, то нам нужно m +1 параметров в направлении u, s ₀, s ₀,..., s_m. Аналогично, нужно n +1 параметров в направлени v, t ₀, t ₀,..., t_n. Вычисление этих параметров обсуждалось в Параметрах и Узловых Векторах для Поверхностей. При наличии этих параметров, точка на поверхности, соответствующая исходной точке d _cd, вычисляется следующим образом:

Квадрат расстояния погрешности между d _cd и соотв. ей точке на поверхности равен

Сумма всех квадратов расстояний погрешности равна:

Это функция [in] (e +1)×(f +1) неизвестных контр. точек p _ij. Как мы уже делали в случае с глобальной аппроксимацией кривых, чтобы найти минимум f (), вычислим ее частныке производные и приравняем их к нулю:

Теперь у нас есть (e +1)×(f +1) уравнений, нули которых соответствуют искомым контр. точкам. К сожалению, эти уравнения нелинейные, а решение системы нелинейных уравнений - это очень трудоемкий процесс. Вместо поиска оптимального решения можно просто найти достаточно хорошее решение без нахождения минимума функции f (). [Rather than aiming for an optimal solution, we can easily find a reasonably good solution that does not minimize function f ().]

Дата добавления: 2015-10-29